Итак

Рисунок 8.2

Рисунок 8.1

Определим мгновенную мощность, которая тратится в ребре. При этом учтем, что .

Поскольку , получаем .

Зависимость мгновенных значений u, i, p от t (или ) показана на рис.8.2. Определим активную мощность P, которая равняется среднему за период значению мгновенной мощности:

Второй интеграл равняется нулю, поскольку на интервале времени, которое кратно периоду, положительные и отрицательные площади синусоидной функции одинаковые.

8.2 Синусоидный ток в индуктивности

Пусть через индуктивность протекает ток . ЭДС самоиндукции определяется по формуле .

Поскольку , будем иметь

Это выражение разрешает сделать такие выводы:

1) ; , ведь напряжение опережает ток в индуктивности на угол ;

2) амплитуды, равно как и реальные значения напряжения и тока, связаны законом Ома: ; . Величина , которая измеряется в Омах, носит название индуктивного сопротивлением; обратная к ней величина носит название индуктивной проводимости. Тогда ; .

Мгновенная мощность энергии, которая поступает в индуктивность, представляет:

Очевидно, что активная мощность P = 0 (как среднее значение синусоидной функции на интервале времени T). Определим энергию магнитного поля в индуктивности:

(Замена переменных в пределах: при , ; при , ).

Зависимость мгновенных значений u, i, p, в индуктивности по времени изображена на рис.8.3. Проанализируем эти временные диаграммы: на протяжении первой четверти периода (отсчет от точки t*), когда ток в цепи увеличивается, имеет место заряд индуктивности, т.е. накопление энергии в магнитном поле за счет источника. Мгновенная мощность при этом положительная и достигает максимального значения .

Рисунок 8.3

В момент времени () энергия, накопленная в магнитном поле, также достигает максимального значения . После этого в течение следующей четверти периода происходит уменьшение тока и мгновенной энергии, т.е. разряд индуктивности; мгновенная мощность в эти моменты отрицательная. Поскольку энергия в системе не тратится (P = 0), то уменьшение означает, что энергия возвращается к источнику. Далее процесс повторяется. Итак, происходит колебание энергии между источником и индуктивностью, причем активная мощность, которая поступает в индуктивность, равняется нулю.

Подадим мгновенные значение тока и напряжения через комплексно-временные функции: ; .

Из последнего выражения можно сделать такие выводы:

1) операция дифференцирования реальной функции времени за t эквивалентна умножению на величину комплексно-временной функции;

2) равность реальных частей между собой для любого t, возможна при условиях равности векторов: . Тогда из последнего уравнения получаем закон Ома в комплексной форме:

, (8.2)

где - комплексное сопротивление индуктивности.

Рассмотрим фазовые соотношения комплексных амплитуд тока и напряжения в индуктивности. Для этого запишем в показательной форме:

Это выражение подтверждает вывод относительно фазового сдвига между комплексными амплитудами и на угол (рис.8.4а). Напомним, что положительные фазовые углы отсчитывают от оси +1 против хода часовой стрелки. Фазовый сдвиг между напряжением и током отсчитываем от вектора до вектора .