Задача Анализа электрической цепи

Рисунок 9.4

Рисунок 9.3

Рисунок 9.2

Рисунок 9.1

Вывод. Геометрическая сумма векторов , , дает вектор приложенного к цепи напряжения: . Прямоугольный треугольник, катетами которого есть i , а гипотенуза равняется , носит название треугольником напряжений.

Если все стороны-векторы этого треугольника поделить на вектор , получим треугольник ребер, подобный треугольнику напряжений и повернутый относительно последнего на угол по ходу часовой стрелки (рис.9.2). Треугольник ребер есть геометрической интерпретацией уравнения (9.5). Его положение не зависит от начальных фаз и ; активное сопротивление R откладывается на комплексной плоскости в положительном направлении реальной оси, а реактивное сопротивление X в зависимости от его знака откладывается по положительной (X > 0), или отрицательной мысленной оси (рис.9.2а,б).

а) б)

В треугольнике ребер угол отсчитывается от положительной действительной осик вектору Z (как аргумент этого вектора) и совпадает с соответствующим значением сдвига фаз между напряжением и током (рис.9.1), который следует отсчитывать от вектора тока к вектору напряжения .

9.2 Параллельное соединение элементов R, L, C

Рассуждая аналогично, найдем комплексную форму законов Ома и Кирхгофа для электрической цепи, которая состоит из параллельно соединенных элементов R, L, C. Запишем уравнения по первому закону Кирхгофа для мгновенных значений токов:

. (9.6)

Перейдем от мгновенных значений i, u к комплексно-временным функциям:

; .

Подставив эти значения к (9.6), получим уравнения для комплексных амплитуд:

. (9.7)

Учитывая, что ; ; , находим выражение для первого закона Кирхгофа в комплексной форме:

. (9.8)

Если вынести в (9.7) значение за скобки, получим

,

где - реактивная проводимость цепи; G - активная проводимость цепи; - комплексная проводимость цепи.

Так же, как и формула (9.4), уравнения

, (9.9)

подают закон Ома в комплексной форме.

Итак, комплексная проводимость цепи - комплексная величина, которая равняется частице от деления комплексного тока на комплексное напряжение на зажимах пассивной электрической цепи. Комплексная проводимость может быть представленна в тригонометричной и показательной формах:

; , (9.10)

где - модуль комплексной проводимости или полная электрическая проводимость; - аргумент комплексной проводимости ; - активная проводимость (реальная часть комплексной проводимости); - реактивная проводимость (мнимая часть комплексной проводимости).

На основе (9.9) запишем: . Тогда

.

Итак, полная проводимость - это скалярная величина, которая равняется частице от деления действующего (амплитудного) значения тока в двуполюснике на действующее (амплитудное) значение напряжения на его зажимах. Аргумент комплексной проводимости с точностью к знаку обуславливает фазовый сдвиг в цепи.

Изобразим векторные диаграммы. На рис.9.3 представлена геометрическая интерпретация на комплексной плоскости уравнения (9.8). Рис.9.3а соответствует варианту, когда реактивная проводимость цепи имеет индуктивный характер (B < 0), ток отстает по фазе от напряжения, а напряжение опережает ток по фазе на угол . Рис.9.3б соответствует случаю, когда реактивная проводимость цепи имеет емкостной характер (B > 0), напряжение отстает по фазе от тока на угол (ток опережает напряжение).

а) б)

Прямоугольный треугольник с катетами и и гипотенузой носит название треугольника токов; и есть соответственно активной и реактивной составляющими тока .

Если все стороны этого треугольника поделить на вектор , то получим треугольник проводимостей, подобный треугольнику токов и повернутый относительно последнего на угол по ходу часовой стрелки. Треугольник проводимостей есть геометрической интерпретацией выражения (9.10). Активная проводимость G откладывается на комплексной плоскости в положительном направлении реальной оси, а реактивная проводимость B в зависимость от ее знака откладывается в отрицательном (B < 0) или в положительном (B > 0) направлении мнимой оси (рис.9.4а,б).

В треугольнике проводимостей угол отсчитывается от гипотенузы Y к катету G аналогично к треугольнику токов, где угол отсчитывается от к .

а) б)