Односекторные модели экономического роста Самуэльсона-Хикса

В качестве показателя ВВП – yt Учитывается действие мультипликатора и акселератора

yt+1 = A +Cyt + a*(yt – yt-1),

индуцированные

инвестиции

А – автономные расходы

а – акселератор – прирост инвестиций и изменения ВВП.

Можно использовать в кр/ср периоде.

1.3. Неоклассические модели

Основными характеристиками неоклассических моделей экономи­ческого роста являются:

• предположение о функционировании экономики в условиях со­вершенной конкуренции, обеспечивающей гибкую систему цен и равен­ство цен факторов производства их предельной производительности;

• отсутствие функции совокупного спроса, поскольку гибкая систе­ма цен постоянно приравнивает объем совокупного спроса к объему совокупного предложения;

• отсутствие функции инвестиций, так как при равновесии на рын­ке благ

• представление технологии в виде производственной функции с взаимозаменяемыми факторами производства и постоянным эффектом масштаба.

Использование производственных функций в моделях экономического роста. Производственные функции - математическое выражение зависимости между объёмом используемых ресурсов и max размером выпуска продукции из этих ресурсов. В макроэкономике рассматривается капитал (К), труд (L), человеческий капитал (H).

Свойства П.ф.

1.Если объём одного из факторов = 0, то и значение функции =0

2.Значение функции ↑, если ↑ объём любого ресурса при постоянстве других ресурсов.

Y = f(K,L) ;.

Если ресурс ↑ до ∞, то и функция ↑ до ∞.

3. При ↑ любого ресурса, значение функции ↑, но замедленно. ;

Наиболее употребительные функции Кобба-Дугласа, для них выполняются все свойства

(Y = AK^αL^β); 0<α<1; 0<β<1

- растущий эффект от увеличения масштаба производства,

=1 – постоянный, <1 – убывающий

Предельная производительность факторов: ;

Эластичность выпуска по факторам производства:

Если труд ↑на 1%, то выпуск ↑ на α%

Темп прироста:

Предельная норма технологической замены: - сколько ед. труда можно заменить ед. капитала.

Изоклиналь: траектория наибольшего роста п.ф.

Для функции К-Д: ,

С = const, зависящая от K и L

Берутся индексы роста величин или относительные показатели:

вместо К и L темпы роста, следовательно

Обобщающий показатель эффективности:

a – оце-ет рост эффективности.

Показатели масштаба:

M=- хар-ет, как ↑ ресурсы (среднегеометрическое) – агрегированный показатель масштаба производства.

Если функция однородная степени n, то F(λK, λL) = λⁿF(K,L)

Функции К-Д однородны и σк = 1

- пред. норма замены зависит от капиталовооружённости труда.

CES функция – функция с постоянной эластичностью замены (замена труда капиталом)

(dk/k)-относительный прирост капиталовооружённости;

(dSk/Sk) – пред. норма замены (ск-ко ед. др. рес-са зам-тся ед. данного ресурса)

Функции К-Д σк = 1

Если σk = const, то общий вид функции CES:

A>0, 0<γ≤1, ρ>-1

Если ф-я свод-ся к такому виду, то , можно найти пост. норму замены.

Основоположниками неоклассических моделей роста являются Р. Солоу и Т. Сван.

(Solow R A contribution to the theory of Economic Growth // The Quarterly Journal of Economics 1956 Vol 70. Swan T Economic Growth and Capital Accumulation // Economic Record 1956 Vol 32)

Модель Солоу—Свана. В закрытой экономике без государства пред­ложение труда и капитала в каждом периоде определяется так же, как в посткейнсианских моделях

Труд увеличивается с экзогенно заданным темпом прироста, а при­рост капитала соответствует объему инвестиций; в свою очередь инве­стиции равны сбережениям, объем которых определяется кейнсианской функцией сбережений.

Технология производства представлена производственной функци­ей Кобба—Дугласа:

Поскольку технология позволяет производить блага при различных сочетаниях труда и капитала, то существует возможность в каждом периоде полностью использовать оба фактора производства даже в слу­чае их роста с неодинаковой скоростью: избыточное предложение тру­да можно устранить посредством снижения его капиталовооруженности, а избыток капитала — посредством повышения капиталовооруженности труда. Будет ли изменяться последняя таким образом, зависит от соотношения цен факторов производства.

Проанализируем, как должна изменяться капиталовооруженность труда в рассматриваемой модели, чтобы труд и капитал использовались полностью.

Из дефиниционного уравнения следует, что

В условиях модели темп прироста труда экзогенно задан: N_t = n, а темп прироста капитала определяется нормой сбережений

Поэтому в заданных условиях темп прироста капиталовооруженно­сти труда определяется по формуле

При некоторых значениях капиталовооруженность труда стабилизируется Следовательно, равенство

(14.3)

соответствует растущей экономике, в которой полностью используются постоянно увеличивающиеся объемы труда и капитала. Раскроем эко­номический смысл формулы (14.3).

Так как q есть доход на одного работника, то произведение sq пред­ставляет объем его сбережений (предложения капитала). Произведение показывает, сколько в среднем каждый работающий должен пред­ложить капитала за период, чтобы оснастить всех вновь вовлекаемых в производство рабочих на уровне Поэтому при объем сбережений равен такому объему инвестиций, который необходим для того, чтобы при растущем с темпом п предложении труда его капиталовооруженность постоянно была равна Вновь вовлекаемые в про­изводство рабочие должны иметь одинаковую с остальными капитало­вооруженность труда потому, что у всех одна и та же ставка зарплаты, равная предельной производительности труда; последняя будет одина­ковой только при одной и той же капиталовооруженности труда.

Используемую в модели производственную функцию можно пред­ставить в виде

Поэтому равенство (14.3) выполняется при

Устойчиво ли состояние экономики, когда? При гибкой системе цен ответ на этот вопрос является утвердительным.

Допустим, что в исходной системе цен оптимальная (максимизирующая прибыль) капиталовооруженность труда равнатогда , что свидетельствует об избытке предложения капитала, и его цена снизится. В новой системе цен оптимальной для предпринимате­лей окажется более высокая, чем, капиталовооруженность труда. Ростбудет продолжаться до. Соответственно прииз-за избытка предложения труда будет снижаться его цена и капиталовоо­руженность.

Таким образом, техническая взаимозаменяемость факторов произ­водства и гибкая система цен приводят экономику к устойчивому эконо­мическому росту при полном использовании труда и капитала даже в том случае, когда исходное состояние не является равновесным.

Для представления движения экономики к равновесному росту на рис. 14.2 построен график

Рис. 14.2. Производительность труда и капитала при технологии Кобба-Дугласа

Угол наклона прямой, соединя­ющей любую точку этого графика с началом координат, представля­ет среднюю производительность капитала, так как

Предельная производительность капитала данной капиталовооруженности труда равна тангенсу наклона касательной в этой же точке; это следует из того, что

Так как в соответствии с неоклассической концепцией то отрезок ab как произведение на равен прибыли на одного рабо­тающего, а отрезок Оа — оплате единицы труда w; поэтому отношение этих отрезков представляет пропорцию распределения национального дохода между трудом и капиталом. Касательная к графикупере­секает ось абсцисс в точкетак как отношение катетов прямоуголь­ного треугольника в квадранте II равно г, а Оа = 0.

Рис. 14.3. Равновесие в модели Солоу

Графически условие (14.3) представлено на рис. 14.3. Криваяпроходит под кривойтак как s < 1. На­клон луча, идущего из начала координат, задан темпом при­роста населения. Точка пересе­чения обеих линий определяет равновесные значения Луч показывает, сколько инвестиций должно прихо­диться на одного работающего, чтобы при растущей с темпом п занятости капиталовооруженность труда постоянно равнялась соответствующей на оси абсцисс величине. Кривая sq пред­ставляет фактические сбережения (а следовательно, и инвестиции) на одного работника при соответствующей капиталовооруженности. Сле­ва отфактические сбережения превышают необходимые для посто­янной капиталовооруженности труда инвестиции, поэтомурастет, справа от- наоборот.

Учитывая, что, условие равновесного роста (14.3) можно представить в виде: . Внешне оно совпадает с условием экономи­ческого роста при полном использовании обоих факторов производства в модели Харрода—Домара. Однако за формальным сходством условия полного использования труда и капитала в обеих моделях экономического роста следует видеть существенное отличие между ними. В модели Хар­рода—Домара постоянство производительности капитала обусловлено технологией производства и состояние экономической конъюнктуры не влияет на значениеВ модели Солоу—Свана производительность капи­тала постоянна только при равновесном росте и не по техническим, а по экономическим причинам; при неравновесном росте значениеменяется, стремясь к_. Из рис. 14.2 и 14.3 следует, что " при *, и наобо­рот.

Определим характеристики экономического роста в модели Солоу— Свана. Поскольку , то При заданной технологии с неизменным эффектом масштаба и фиксированной норме сбережений это равенство расширяется

Следовательно, в модели Солоу—Свана экономика выходит на ус­тойчивый рост национального дохода с постоянным темпом, равным темпу роста трудовых ресурсов; с такой же скоростью увеличиваются инвестиции и капитал. Поэтому при равновесном росте не изменяется ни производительность труда, ни производительность капитала.

Проследим теперь за последствиями изменения экзогенных пара­метров п и s. Увеличение темпа прироста трудовых ресурсов отображе­но на рис. 14.4 поворотом лучгпротив часовой стрелки. При задан­ной норме сбережений не хватает инвестиций для равновесной капи­таловооруженности труда. Увеличение предложения труда снижает его цену и предприниматели переходят к менее капиталоемким способам изготовления продукции. Когда капиталовооруженность труда снизит­ся до тогда установится новое динамическое равновесие при полном использовании труда и капитала с возросшим темпом роста националь­ного дохода при более низкой производительности труда.

Последствия повышения нормы сбережений представлены на рис. 14.5. Рост нормы сбережений сдвигает кривуювверх. В результате новое динамическое равновесие устанавливается при более вы­соких значениях капиталовооруженности и производительности тру­да, но с исходным темпом роста национального дохода, равным тем­пу роста населения.

Рис. 14.4. Последствия увеличения темпа роста населения	Рис. 14.5. Последствия роста нормы сбережения

В момент повышения нормы сбережений темп роста национально­го дохода резко увеличивается, так как возрастает не только масштаб

производства, но и производи­тельность труда из-за увели­чения его капиталовооружен­ности. В дальнейшем вместе с замедлением роста производи­тельности труда по мере при­ближения к новому равновесию темп роста национального до­хода снижается до темпа роста населения. Динамика показате­лей результативности произ­водства в переходный период показана на рис. 14.6.

Рис. 14.6. Изменение результативности производства при повышении нормы сбережений

Поскольку в модели Солоу-Свана устойчивый рост при полном использовании обоих факторов производства достигается при любой норме сбережений и темп прироста национального дохода всегда равен темпу прироста на­селения, то возникает проблема определения оптимальной нормы сбе­режения.

«Золотое правило» накопления. Примем в качестве критерия опти­мальности максимум потребления на одного занятого в каждом перио­де:и определим ее зависимость от капиталовооружен­ности труда. С учетом равенств

среднюю норму потребления можно представить в виде

Она достигает максимума при

Таким образом, объем потребления на одного работающего достига­ет максимума, когда темп прироста капитала равен его предельной про­изводительности.

Для определения нормы сбережений, максимизирующей среднюю норму потребления в динамическом равновесии, продифференцируем по s. Так как

,то

Следовательно, средняя норма потребления максимальна при

(14.4)

Равенство (14.4) представляет «золотое правило» накопления: если норма сбережений равна эластичности выпуска по капиталу, то в рас­тущей с постоянным темпом экономике средняя норма потребления достигает максимума при полном использовании труда и капитала.

Так как в условиях совершенной конкуренции доля прибыли в на­циональном доходе равна эластичности выпуска по капиталу, то из ра­венства (14.4) следует, что в соответствии с «золотым правилом» вся прибыль должна инвестироваться в реальный капитал.

Графический способ определения нормы сбережений, соответству­ющей «золотому правилу», показан на рис. 14.7.

Рис. 14.7. Норма сбережений, соответствующая «золотому правилу» накопления

При заданной техноло­гии и фиксированном темпе роста трудовых ресурсов каждой норме сбережений соответствует своя устой­чивая капиталовооружен­ность труда. Чтобы опреде­лить, какая s обеспечивает максимум, нужно к гра­фику производственной функции провести каса­тельную, тангенс угла на­клона которой равен п, так как в соответствии с «золотым правилом» , а при равновесном росте Точка пересечения перпендикуляра, опу­щенного из точки касания на ось абсцисс, с лучомопределит оптималь­ную норму сбережений. Через эту точку должна проходить кривая.

Эндогенная норма сбережений. Возможность устойчивого эконо­мического роста с полным использованием факторов производства при различных нормах сбережений указывает на то, что в модели Солоу— Свана норма сбережений может быть эндогенным параметром. Рассмотрим два варианта эндогенной нормы сбережений.

В соответствии с неоклассической концепцией норма сбережений повышается по мере роста реальной доходности (предельной произво­дитель­ности) капитала. В этом случае условие равновесного роста принимает вид: . Так как с повышением (понижением) капиталовооруженности труда предельная производительность капи­тала снижается (повышается), то приравновесие достигается не только за счет изменения, но и в результате сдвига кривой sq: при график sq смещается вниз, а при— вверх. Поэтому при s = s(r) в динамическом равновесии производительность и капиталово­оруженность труда ниже, чем при s = const.

В соответствии с концепцией Н. Калдора (см. 14.1) норма сбереже­ний тоже зависит от производительности капитала:

Поэтому условием равновесного роста является

(14.5)

В том, что и с нормой сбережений Н. Калдора в модели Солоу— Свана существует устойчивое равновесие, можно убедиться на осно­ве следующих рассуждений: при малых значенияхсредняя и пре­дельная производительности капитала большие, поэтому левая часть равенства (14.5) больше п; при больших значениях V|/ средняя и пре­дельная производительности капитала низкие, поэтому левая часть равенства (14.5) меньше п. Следовательно, при увеличении V|/ найдет­ся точка равновесия, устойчивость которого обеспечивается гибко­стью цен.

«Омут бедности». В соответствии с производственной функци­ей, используемой в модели Солоу—Свана, рост капиталовооружен­ности труда сопровождается снижением производительности капи­тала: криваявыпукла к оси ординат. Такое соотношение затра­ты—выпуск при заданном уровне развития техники характерно для индустриальных и постиндустриальных экономик в условиях пол­ного использования трудовых ресурсов. Для стран, переходящих от аграрной к индустриальной стадии развития, рост капиталовоору­женности труда может сочетаться с повышением производительно­сти капитала. В этом случае графикпринимает вид кривой, изображенной на рис. 14.8, и равенство (14.3) выполняется при трех различных значениях капиталовооруженности труда, как показано на рис. 14.9, а.

Рис. 14.8. Производственная функция при переходе от аграрной