Преобразование соединения треугольником в соединение звездой

При расчётах электрических цепей наибольшие трудности вызывают преобразования соединения ветвей треугольником в эквивалентное соединение звездой и наоборот, так как такие соединения не могут быть заменены одним эквивалентным элементом.

Пусть между выводами 1, 2 и 3 электрической схемы включены комплексные сопротивления образующие стороны треугольника (рис. 7.3 а). Токи через эти сопротивления обозначим с аналогичными индексами , а токи в неразветвлённых участках схемы имеют индексы, совпадающие с номером соответствующего узла.

Согласно понятию эквивалентности замена соединения треугольником на эквивалентную звезду не должна менять величин токов и напряжений между соответствующими узлами схемы (рис. 7.3 б).

В схеме соединения треугольником по первому закону Кирхгофа для узлов 1 и 2 имеем выражения

(7.6 а) и (7.6 b),

в которых общим элементом является ток .

Рис. 7.3. Соединение ветвей треугольником (а) и звездой (б)

Используя формулу (7.6 а), выразим ток ветви "3-1" через ток :

По второму закону Кирхгофа для этой же схемы имеем уравнение

Подставляя выражения из формулы (7.6 b) и из (7.7) в уравнение (7.8), получаем формулу

и после преобразования

что позволяет записать формулу напряжения между выводами 1 и 2 в виде

В то же время для эквивалентной схемы соединения звездой имеем выражение

Сравнивая уравнения (7.11) и (7.12), получаем условия эквивалентности схем

Для третьего узла по первому закону Кирхгофа имеем равенство

Преобразуя уравнение (7.6 b) к виду

и подставляя выражения (7.14) и (7.15) в уравнение (7.8), получаем зависимость

Выражая напряжение между узлами 2 и 3 через ток по (7.16) для схемы соединения ветвей треугольником

и через токи для схемы соединения звездой

после сравнения полученных формул получаем третье условие эквивалентности схем

которое можно было бы получить формально путём круговой заменой индексов в выражениях (7.13).