Частотным характеристикам

Определение устойчивости по логарифмическим

Для определения устойчивости по критерию Нейквиста можно строить не амплитудно-фазовую характеристику, а логарифмическую амплитудную частот-ную характеристику (л.а.х) и логарифмическую фазовую частотную характеристику (л.ф.х) разомкнутой системы.

Построение л.а.х. производится по выражению:

где - модуль частотной передаточной функции разомкнутой системы.

Построение л.ф.х. производится по выражению частотной передаточной функции.

Наиболее простое построение получается, если передаточную функцию разомкнутой системы можно свести к виду

.

После подстановки получаем:

.

Логарифмическая фазовая частотная характеристика определяется выражением:

.

Логарифмическую амплитудно-частотную характеристику можно строить непосредственно по заданной передаточной функции. Для этого надо помнить, что, согласно характеристикам типовых звеньев, каждому сомножителю типа соответствуют л.а.х. с наклоном , имеющие при ординату, равную

-. Каждому сомножителю типа в знаменателе соответствует точка излома характеристики при с последующим наклоном , а каждому сомножителю такого же типа в числителе соответствует точка излома при с последующим наклоном . Сомножителю же типа в знаменателе соответствует излом при с наклоном , если .

Пример.

Построим л.а.х. разомкнутой системы с передаточной функцией в разомкнутом состоянии:

.

Примем, что выполняется условие . Тогда для сопрягающих частот будет выполнятся условие . Если , то можно пренебречь всеми постоянными времени и передаточная функция будет равна:

.

Поэтому из точки, где , восстанавливаем перпендикуляр, равный , и через эту точку проводим низкочастотную асимптоту с наклоном , которую продолжаем до первой сопрягающей частоты. Если эта сопрягающая частота соответствует постоянной времени в знаменателе, то л.а.х. «изламываем» вниз на и проводим до следующей сопрягающей частоты. Если эта сопрягающая частота соответствует постоянной времени, находящейся в числителе, то л.а.х. «изламывается» вверх на и проводится до следующей сопрягающей частоты и т.д.

Построенная по данному правилу л.а.х. представлена на рис. 4.5.

Рис. 4.5

Выражение для фазовой частотной характеристики принимает вид:

.

Рассмотрим теперь определение устойчивости по построенным л.а.х. и л.ф.х. Ограничимся случаем, когда разомкнутая система устойчива. Другие случаи см. [1].

Пусть а.ф.х. разомкнутой системы имеет вид, представленный на рис. 4.6 а. Система находится на границе устойчивости. В этом случае или при . Поэтому такому начертанию а.ф.х. будет соответствовать следующее расположение л.а.х. и л.ф.х. (рис. 4.6, б,в).

Рис. 4.6

Пусть а.ф.х. разомкнутой системы имеет вид (рис. 4.7).

Рис. 4.7

Согласно критерию устойчивости Найквиста, замкнутая система будет устойчива. В этом случае или при .

Поэтому такому начертанию а.ф.х. будет соответствовать следующее расположение л.а.х. и л.ф.х. (рис. 4.8).

Аналогично для неустойчивой системы или при (рис. 4.9).

Рис. 4.8 Рис. 4.9

Отсюда следует, что для устойчивости замкнутой системы, для всех частот, при которых ординаты л.а.х. положительны, л.ф.х. не должна пересекать линию .