Частотный критерий устойчивости Найквиста

Частотный критерий устойчивости Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по виду а.ф.х. разомкнутой системы.

Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:

При доказательстве критерия сделаем следующие допущения:

1. Разомкнутая система устойчива.

2. .

Введем вспомогательную функцию:

где − характеристический многочлен замкнутой системы, а − характеристический многочлен разомкнутой системы.

Заменяя , получим:

По критерию Михайлова угол поворота вектора при равен , т.к. разомкнутая система устойчива по условию. С другой стороны, требуется, чтобы система была устойчивой в замкнутом состоянии. Для этого нужно потребовать, чтобы угол поворота вектора при также равнялся бы .

Отсюда следует, что угол поворота вектора должен быть равен:

т.к. при делении комплексных чисел аргументы вычитаются.

Частотная характеристика представлена на рис. 4.3.

Рис. 4.3.

Условие означает, что частотная функция не должна охватывать начало координат. Вернемся теперь к функции:

которая представляет собой амплитудно-фазовую частотную характеристику разомкнутой системы (рис. 4.4).

Отсюда получаем следующую формулировку частотного критерия Найквиста.

Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы не охватывала точку .