Пример 3. Сколькими способами можно разбить конечное множество Х, где , на подмножества, среди которых для каждого i=1

Сколькими способами можно разбить конечное множество Х, где , на подмножества, среди которых для каждого i =1, 2,…, n имеется подмножеств с i элементами, где ? Заметим, что в отличие от задачи 1 набор подмножеств в разбиении не является упорядоченным (т.е. порядок подмножеств в разбиении не является существенным). Обозначим число указанных неупорядоченных разбиений множества Х через .

Теорема 3. .

Доказательство. Каждое из неупорядоченных разбиений, рассмотренных при определении величины , можно, нумеруя блоки этого разбиения, привести способами к упорядоченным разбиениям вида

, …, , , …, , …, , …, ,

где , ,…,.

При этом объединение получаемых таким образом попарно непересекающихся множеств является совокупностью всех возможных разбиений множества Х. Следовательно, по правилу суммы, используя теорему 1, получим:

(где суммирование производится по всем рассматриваемым неупорядоченным разбиениям), откуда и следует справедливость доказываемого утверждения.

Пример 4.

Сколькими способами из группы в 25 человек можно сформировать 5 коалиций по 5 человек?

Пусть Х – множество людей в группе, – число коалиций по i человек, где i =1, 2, …, 25. Тогда из условия задачи следует, что , , а для других i , и, таким образом, искомое число равно .