2014-02-09
601
Смешанным произведением тройки векторов 
,
и 
называется число, равное скалярному произведению вектора 
на векторное произведение 
. Если рассматриваемые векторы ,и некомпланарны, то векторное произведение есть вектор, длина которого численно равна площади построенного на них параллелограмма. Направлен этот вектор по нормали к плоскости параллелограмма. Если этот вектор скалярно умножить на вектор , то получившееся число будет равно произведению площади основания параллелепипеда, построенного на тройке векторов ,и , и его высоты, т.е. объему этого параллелепипеда.
Таким образом, смешанное произведение векторов 
(которое обозначается 
) есть число, абсолютная величина которого выражает объем параллелепипеда, построенного на векторах ,и .
Знак произведение положителен, если векторы ,и , образуют правую тройку векторов, т.е. вектор направлен так, что кратчайший поворот от 
к 
виден из его конца совершающимся против часовой стрелки.
Из геометрического смысла смешанного произведения непосредственно следует необходимое и достаточное условие некомпланарности векторов ,и : для того, чтобы векторы ,и были некомпланарными необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение было отлично от нуля.
Если 
, и 
то 
,
или в свернутой форме
.
Справедливы следующие свойства смешанного произведения векторов:
1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей 
;
2. При перестановке двух соседних множителей смешанное произведение меняет свой знак на противоположный 
.
