Число называется собственным значением (или характеристическим числом) квадратной матрицы порядка , если можно подобрать такой –мерный ненулевой вектор , что .
Для того, чтобы найти собственные значения матрицы , рассмотрим матрицу
Если раскрыть определитель матрицы , то получится многочлен –й степени:
Этот многочлен называется характеристическим многочленом матрицы . Его коэффициенты зависят от элементов матрицы . Понятие многочлена будет подробно разобрано в следующем разделе.
Следует отметить, что , . Уравнение называется характеристическим уравнением матрицы .
Теорема. Множество всех собственных значений матрицы совпадает с множеством всех решений характеристического уравнения матрицы .
Доказательство: ,
– ненулевой набор чисел, – вырожденная матрица – решение уравнения
.
Собственным вектором квадратной матрицы порядка , принадлежащим ее собственному значению называется -мерный вектор , для которого .
Множество всех собственных векторов матрицы , принадлежащих ее собственному значению , обозначим через . Отыскание собственных векторов сводится к решению однородной системы линейных уравнений.
|
|
Теорема. Множество всех собственных векторов матрицы порядка , принадлежащих ее собственному значению , совпадает с множеством всех решений однородной системы линейных уравнений , где
Доказательство:
В развернутом виде равенство записывается как система уравнений:
Если зафиксировано число , то задача нахождения собственного вектора матрицы сводится к поиску ненулевого решения системы линейных однородных уравнений с неизвестными , которые являются координатами вектора . Эта система имеет ненулевое решение только тогда, когда выполняется условие
,
т.е. число является собственным числом матрицы .
Знание всех собственных векторов матрицы позволяет решить задачу диагонализации этой матрицы, то есть нахождения треугольной или диагональной матрицы, имеющий такие же собственные значения.