Без доказательства
Пусть есть направление s (||s||=1-норма вектора):
¶f (x)/ ¶s = lim = f ¢s(x)= (f ¢(x), s)-производная по направлению
e ® 0, e > 0
5. Теорема:
Для дифференцируемой функции f (x) на выпуклом множестве X выпуклость
эквивалентна неравенству:
f (x +y) ³ f (x) + (Ñf(x),y)
Строгая выпуклость эквивалентна неравенству:
f (x +y) > f (x) + (Ñf(x),y)
Сильная выпуклость эквивалентна неравенству:
f (x +y) ³ f (x) + (Ñf(x),y) + l *||y||2/2, где l=const
6. Для сильно выпуклых функций справедливы соотношения:
1. f (x) ³ f (x*) + l *|| x - x*||2/2
2. (Ñf(x), x-x*) ³ l *|| x - x*||2
3. ||Ñf(x)|| ³ l * || x - x* ||