Преимущества нечетких систем

Пример

Нечеткая и лингвистическая переменные

Для треугольных

Для трапециевидных

Сложение
a	b	α	β
a1+a2	b1+b2	α1+α2	β1+β2
Вычитание
a	b	α	β
a1-a2	b1-b2	α1+β2	β1+α2
Умножение
a	b	α	β
a1*a2	b1*b2	a1*α2+a2*α1	b1*β2+b2*β1
Деление
a	b	α	β
a1/b2	b1/a2	(a1*β2+b2*α1)/b2^2	(b1*α2+a2*β1)/a2^2

Сложение
a	α	β
a1+a2	α1+α2	β1+β2
Вычитание
a	α	β
a1-a2	α1+β2	β1+α2
Умножение
a	α	β
a1*a2	a1*α2+a2*α1	a1*β2+a2*β1
.+/-	a2*α1-a1*β2	a2*β1-a1*a2
.-/-	-a2*β1-a1*β2	-a2*α1-a1*α2
Деление
a	α	β
a1/b2	(a1*β2+a2*α1)/a2^2	(a1*α2+a2*β1)/a2^2

Пример из жизни:

Филиал А – от 40 до 100 но с наиб. ожид. от 50 до 70 (трап) – А = [50,70,10,30]

Филиал Б – от 100 до 110 (кв) – Б = [100,110,0,0]

Филиал В – не более 20 (полтр) – В = [0,0,0,20]

Расходы 50-100 но скорее всего 80 (тр) Р = [80,80,30,20]

Доход = (50+100+0, 70+110+0, 10+0+0, 30+0+20) = [150,180,10,50]

ЧДоход = Доход – Расходы = (150-80, 180-80, 10+20, 50+30) = [70,100,30,80]

В текстовом виде – чистый доход составит от 40 до 180 но с наиб. вероятностью можно ожидать от 70 до 100 т.р

При описании объектов и явлений с помощью нечетких множеств используется понятие нечеткой и лингвистической переменных.

Нечеткая переменная характеризуется тройкой <a, X, A>, где

• a - имя переменной,
• X - универсальное множество (область определения a),
• A - нечеткое множество на X, описывающее ограничение (то есть m A(x)) на значение нечеткой переменной a.

Лингвистической переменной называется набор <b,T,X,G,M>, где

• b - имя лингвистической переменной;
• Т - множество его значений (терм-множество), представляющие имена нечетких переменных, областью определения, которых является множество X. Множество T называется базовым терм-множеством лингвистической переменной;
• G - синтаксическая процедура, позволяющая оперировать элементами терм-множества T, в частности, генерировать новые термы (значения). Множество TИG(T), где G(T) - множество сгенерированных термов, называется расширенным терм-множеством лингвистической переменной;
• М - семантическая процедура, позволяющая преобразовать новое значение лингвистической переменной, образованной процедурой G, в нечеткую переменную, то есть сформировать соответствующее нечеткое множество.

Во избежание большого количества символов:

• символ b используют как для названия самой переменной, так и для всех его значений;
• для обозначения нечеткого множества и его названия пользуются одним символом, например, терм "молодой", является значением лингвистической переменной b = "возраст", и одновременно нечетким множеством М ("молодой").

Присваивание нескольких значений символам предполагает, что контекст допускает неопределенности.

Пусть эксперт определяет толщину изделия, с помощью понятия "маленькая толщина", "средняя толщина" и "большая толщина", при этом минимальная толщина равняется 10 мм, а максимальная - 80 мм.

Формализация этого описания может быть проведена с помощью лингвистической переменной <b, T, X, G, M>, где

• b - толщина изделия;
• T - {"маленькая толщина", "средняя толщина", "большая толщина"};
• X - [10, 80];
• G - процедура образования новых термов с помощью связок "и", "или" и модификаторов типа "очень", "не", "слегка" и др. Например, "маленькая или средняя толщина", "очень маленькая толщина" и др.;
• М - процедура задания на X = [10, 80] нечетких подмножеств А1="маленькая толщина", А2 = "средняя толщина", А3="большая толщина", а также нечетких множеств для термов из G(T) соответственно правилам трансляции нечетких связок и модификаторов "и", "или", "не", "очень", "слегка", операции над нечеткими множествами вида: А З C, АИ C, , CON А = А² , DIL А = А^0,5 і ін.

Вместе с рассмотренными выше базовыми значениями лингвистической переменной "толщина" (Т={"маленькая толщина", "средняя толщина", "большая толщина"}) существуют значения, зависящие от области определения Х. В данном случае значения лингвистической переменной "толщина изделия" могут быть определены как "около 20 мм", "около 50 мм", "около 70 мм", то есть в виде нечетких чисел.

Функции принадлежности нечетких множеств:

"маленькая толщина" = А1, "средняя толщина"= А2, " большая толщина"= А3.

Функция принадлежности:

нечеткое множество "маленькая или средняя толщина" = А1ИА1.

Коротко перечислим преимущества fuzzy-систем по сравнению с другими:

• возможность оперировать нечеткими входными данными: например, непрерывно изменяющиеся во времени значения (динамические задачи), значения, которые невозможно задать однозначно (результаты статистических опросов, рекламные компании и т.д.);
• возможность нечеткой формализации критериев оценки и сравнения: оперирование критериями "большинство", "возможно", преимущественно" и т.д.;
• возможность проведения качественных оценок как входных данных, так и выходных результатов: вы оперируете не только значениями данных, но и их степенью достоверности (не путать с вероятностью!) и ее распределением;
• возможность проведения быстрого моделирования сложных динамических систем и их сравнительный анализ с заданной степенью точности: оперируя принципами поведения системы, описанными fuzzy-методами, вы во-первых, не тратите много времени на выяснение точных значений переменных и составление описывающих уравнений, во-вторых, можете оценить разные варианты выходных значений.