Определение Кривой второго порядка в называется множество точек, координаты которых в какой-либо ПДСК удовлетворяют уравнению , где одновременно

ЗАМЕЧАНИЕ Уравнение окружности можно задать и в параметрическом виде

, в чем нетрудно убедиться подстановкой в предыдущее уравнение.

Опредление Эллипс – множество точек в , сумма расстояний от каждой и которых до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная.

ЗАМЕЧАНИЕ 1 Фиксируем ПДСК в . Обозначим сумму расстояний до фокусов , и расположим фокусы на оси симметрично относительно начала координат: .

Положим . Тогда уравнение эллипса (каноническое) будет иметь вид

ЗАМЕЧАНИЕ 2 В каноническом уравнении эллипса предполагается ; отрезки называются большими полуосями, а отрезки - малыми полуосями эллипса.

Определение Эксцентриситетом эллипса называется величина

ЗАМЕЧАНИЕ 3 (геометрический смысл) Если при фиксированном , то эллипс деформируется к окружности . Если , то эллипс деформируется к отрезку .

Определение Прямая , проходящая через точку кривой, называется касательной к кривой в этой точке, если расстояние от переменной точки кривой до прямой стремится к нулю быстрее, чем расстояние от нее до , когда .

ЗАМЕЧАНИЕ 4 Уравнение касательной к эллипсу в точке имеет вид .

_____

Определение Гипербола – множество точек в , модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная.

ЗАМЕЧАНИЕ 1 Пусть модуль разности расстояний от текущей точки гиперболы до фокусов равен : .Тогда уравнение гиперболы (каноническое) имеет вид , где .

Определение Прямая называется асимптотой неограниченной кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой стремится к нулю, когда точка неограниченно удаляется по кривой.

ЗАМЕЧАНИЕ 2 Прямые (Рис.2.13) являются асимптотами гиперболы при .

Определение Отрезки называются вещественными полуосями, а отрезки - мнимыми полуосями гиперболы. Точки называются вершинами гиперболы.

Определение Эксцентриситетом гиперболы называется величина .

ЗАМЕЧАНИЕ 3 (геометрический смысл) Пусть фиксировано.

а) Тогда , то есть тогда и только тогда, когда асимптоты проворачиваются вокруг начала координат к оси . При этом ветви гиперболы сжимаются к полуинтервалам , а их фокусы приближаются к вершинам. б) , то есть тогда и только тогда, когда асимптоты

проворачиваются к оси . При этом ветви гиперболы разгибаются в вертикальные прямые , а фокусы удаляются в бесконечность.

ЗАМЕЧАНИЕ 4 Уравнение касательной к гиперболе в точке

имеет вид .

_____

Определение Парабола - множество точек в , расстояния от которых до заданной точки (фокуса) и до заданной прямой (директрисы) совпадают.

ЗАМЕЧАНИЕ 1 Пусть в какой-либо ПДСК уравнение директрисы , а координаты фокуса . Тогда уравнение параболы имеет вид .

ЗАМЕЧАНИЕ 2 Точка параболы является ближайшей к директрисе и называется вершиной параболы.

ЗАМЕЧАНИЕ 3 Уравнение касательной к параболе в точке имеет вид .

ТЕОРЕМА Уравнение кривой второго порядка с помощью последовательно: преобразования поворота ПДСК вокруг начала координат, последующего сдвига ПДСК на некоторый вектор и, возможно, отражения относительно какой-то из осей координат может быть приведено к одному из простейших видов:

1) каноническому уравнению эллипса, гиперболы, параболы; 2) уравнению пары прямых; 3) уравнению, которому удовлетворяют координаты одной точки;

4) уравнению, которому не удовлетворяют координаты ни одной точки.

_____

Определение Квадратная матрица, все элементы которой, стоящие вне главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Определение Квадратная матрица называется квазидиагональной, если в ней можно выделить попарно непересекающиеся квадратные матрицы, главные диагонали которых заполняют главную диагональ исходной матрицы, а все элементы вне этих матриц равны нулю.

Определение Матрица называется правой обратной к матрице , если . Матрица называется левой обратной к матрице , если .

Определение Матрица называется обратимой, если она имеет и правую и левую обратные матрицы.

ТЕОРЕМА 1) Обратимая матрица необходимо является квадратной. При этом ее правая и левая обратные совпадают, и потому существует обратная матрица.

2) Если – квадратные матрицы одного размера, то .

3) Квадратная матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда она не вырождена.

4) тогда и только тогда, когда имеет равно линейно независимых строк (столбцов), если последние рассматривать как векторы.

5) .

СЛЕДСТВИЕ 1 Если матрица не вырождена, то для любой квадратной матрицы того же размера .

СЛЕДСТВИЕ 2 Произведение квадратных матриц не вырождено тогда и только тогда, когда не вырождены сомножители. Это следует из равенства .

_____

Определение Характеристическим многочленом матрицы называется

многочлен -ой степени .

В поле комплексных чисел по теореме Гаусса он представим в виде , где - попарно различные нули с соответствующими кратностями , и

Определение Корни характеристического многочлена называются собственными числами матрицы .

Определение Для собственного числа однородная СЛАУ является совместной, но неопределенной в силу теоремы. Ее ненулевые решения называются собственными вектора ми матрицы .

Определение Вещественная квадратная матрица называется ортогональной, если она обратима и обратная матрица совпадает с сопряженной: .

Определение Квадратная матрица над называется симметричной, если .

ТЕОРЕМА 1) (свойства ортогональных матриц)

а) Матрица ортогональна тогда и только тогда, когда ее строки

и столбцы ортонормированны в :

. При этом .

б) Ортогональная матрица размера имеет один из двух видов:

или . В первом случае

, а во втором случае .

в) Ортогональная матрица размера имеет вид ,

и ее строки являются направляющими косинусами ортонормированной системы векторов .

г) Собственные числа ортонормированной матрицы вычисляются по формулам , где .

2) (свойства симметричных матриц)

а) Все собственные числа вещественной симметричной матрицы вещественны.

б) Для того, чтобы вещественная квадратная матрица была симметричной, необходимо и достаточно, чтобы существовали ортогональная матрица и диагональная матрица со свойством: . При этом диагональные элементы матрицы являются собственными числами матрицы , а столбцы матрицы -

соответствующими собственными векторами матрица .

3) (структура матриц общего вида) а) (QR-разложение) Каждая невырожденная

квадратная матрица представима в виде произведения ортогональной матрицы и верхнетреугольной матрицы, диагональные элементы которой положительны.

б) (полярное разложение) Каждая квадратная матрица представима в виде произведения ортогональной матрицы и симметричной матрицы .

в) (сингулярное разложение) Каждая матрица представима в виде , где , есть ортогональные матрицы, а матрица имеет в левом верхнем углу диагональную матрицу размера , а остальные ее элементы равны нулю.

_____

Определение Поверхностью второго порядка в называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению вида

или в матричной записи , где , а симметричная

матрица . Эллипсоидом называется множество точек в с ПДСК координаты которых удовлетворяют уравнению . Однополостным гиперболоидом называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению . Двуполостным гиперболоидом называется множествоточек, координаты которых удовлетворяют уравнению . Конической поверхностью (конусом) называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению . Эллиптическим параболоидом называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению. Гиперболическим параболоидом (седлом) называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению Эллиптическим цилиндром называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению . Гиперболическим цилиндром называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению . Параболическим цилиндром называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению . Пара плоскостей . Прямая или точка, например, ,где . Пустое множество, например, , где .

_____ Определение Движением -мерного евклидова пространства называется преобразование , сохраняющее расстояние между любыми двумя точками: . ЗАМЕЧАНИЕ Движение в порождает преобразование на множестве векторов по правилу . Это преобразование сохраняет длины преобразованных векторов и углы между ними. Последнее следует из равенства треугольников . Перечислим элементарные движения в . 1) Вращение пространства вокруг прямой. 2) Сдвиг всех точек пространства на один и тот же вектор. 3) Зеркальное отражение пространства в какой-либо плоскости. ТЕОРЕМА 1) Пусть движение переводит ПДСК в ДПСК , где имеет координаты в исходной ПДСК и . (1)

Тогда координаты в исходной ПДСК точки и ее образа связаны равенствами . (2) То есть движение вполне определяется знанием преобразования одной ПДСК. Кроме того движение распадается на движение с неподвижной точкой и ортогональной матрицей , (3) и на последующий сдвиг пространства на вектор . 2) Движение (3) есть вращение пространства вокруг собственного вектора матрицы () и последующего отражения (в случае ) в плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору . 3) Пусть орты "старой" и "новой" ПДСК в связаны равенством ;заданы новые координаты начала координат; - координаты одной и той же точки в этих ПДСК. Тогда .

______ Определение Функция переменных , где коэффициенты , а переменные, , называется квадратичной формой. ЗАМЕЧАНИЕ Образуем симметричную матрицу называемую матрицей квадратичной формы, и матрицу переменных . Тогда квадратичная форма может быть записана в матричном виде . Определение Квадратичные формы называются эквивалентными, если для некоторой невырожденной матрицы , то есть первая преобразуется во вторую после замены переменных . ЗАМЕЧАНИЕ Каждая квадратичная форма эквивалентна канонической квадратичной форме вида , причем соответствующую матрицу можно выбрать ортогональной. ТЕОРЕМА Уравнение поверхности второго порядка с помощью преобразования поворота пространства вокруг оси, проходящей через начало координат, последу ющего сдвига его на некоторый вектор, и, возможно, вращения вокруг координат ной оси и отражения в координатной плоскости, может быть приведено к уравне нию одного из 12 перечисленных выше типов геометрических объектов в .