Введение в анализ

Определение Объединением множеств называется .

Определение Пересечением множеств называется .

Определение Множества называются непересекающимися, если .

Определение Разбиением множества называется совокупность попарно непересекающихся его подмножеств со свойством .

Определение Разностью множеств называется .

Определение Пусть дано отображение множества в множество . В обозначении называется независимой переменной величиной с областью определения ; - зависимой переменной величиной с множеством значений

; называется областью значений отображения.

Определение Графиком отображения называется подмножество декартова произведения .

Определение Отображение называется инъективным (взаимно однознач ным), если она разным элементам из сопоставляет разные элементы из .

Определение Отображение называется сюръективным (отображением "на"), если .

Определение Отображение называется биективным (биекцией), если она инъективно и сюръективно.

ЗАМЕЧАНИЕ Биективное отображение и только такое отображение имеет обратное . При этом область определения последнего есть .

_____

Определение Множества называются равномощными, если существует биекция на .

Определение Мощностью конечного множества называется число его элементов.

Обозначение

Определение Множество называется счетным, если оно равномощно множеству .

Определение Множество называется множеством мощности континуум, если оно равномощно множеству .

Определение Множество элементов называется упорядоченным, если для любых его двух элементов всегда можно сказать, что один из них предшествует другому.

ЗАМЕЧАНИЕ Если на вещественной оси выбрать начало координат и масштаб, то между множествами и можно установить взаимно однозначное соответствие (то есть они равномощны), при котором сохраняется отношение порядка. Поэтому в дальнейшем мы иногда не будем различать эти два

упорядоченных множества (точек и чисел).

Определение Множество точек называется ограниченым сверху

(снизу) если ; множество ограничено, если оно

ограниченно и сверху и снизу: .

Определение Точной верхней (нижней) гранью множества называется наименьшее (наибольшее) число со свойствами .

_____

Определение Композицией отображений и называется отображение , определяемое по правилу .

Определение Преобразование , называется тождественным отображением.

Определение Отображение называется правым (левым) обратным к отображению , если .

Отображение называется обратным к отображению , если оно является и правым и левым обратным к .

ЗАМЕЧАНИЕ 1) Отображение является инъективным тогда и только тогда, когда оно имеет левое обратное отображение.

2) Отображение является сюръективным тогда и только тогда, когда оно имеет правое обратное отображение.

3) Отображение является биекцией тогда и только тогда, когда оно имеет обратное отображение.

Определение Пусть и . Сужением отображения на подмноже ство называется отображение определяемое по правилу

. Обозначение. .

_____

Определение Выражение вида где числа , называется числовой последовательностью.

Определение Последовательность называется ограниченной, сверху (ограниченной снизу), если она имеет верхнюю грань: (нижнюю грань: ). Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу. В противном случае она называется неограниченной.

Определение Последовательность называется монотонно возрастающей (неубывающей), если . Аналогично определяется монотонно убывающая (невозрастающая) последовательность.

Определение Число называется пределом последовательности при , если .

Определение Последовательность стремится к (плюс, минус) бесконечности

при , если .

Обозначение ().

Определение Последовательность, для которой существует конечный предел,

называется сходящейся. В противном случае она называется расходящейся.

Обозначение .

ТЕОРЕМА 1) (критерий Коши сходимости последовательности) Последователь ность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальная:

2) Если предел последовательности существует, то он единственен.

3) Если существует предел , то для любой подпоследовательности данной последовательности . Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

4) Сходящаяся последовательность ограничена.

5) Если последовательность не убывает (не возрастает) и ограничена сверху (снизу), то она является сходящейся.

Пусть , причем . Тогда справедливы следующие утверждения.

6) . 7) Если , то .

8) Пусть , Тогда .

9) . 10) .

11) Если и последовательность ограничена, то .

12) . 13) Если , то .

Определение Верхним (нижним) пределом последовательности называется такое число , что ,

Обозначение , .

ЗАМЕЧАНИЕ 1) . 2) существует тогда и только тогда, когда . 3) .4) Если существует и , то .

____

Определение Числовым рядом называется выражение вида , где .

Определение Обобщенный гармонический ряд .

Определение Ряд называется законоположительным (знакопостоянным),

если (или ).

Определение Ряд называется знакочередующимся, если .

Определение -ой частичной суммой ряда называется сумма .

Определение Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный

предел . Этот предел называется суммой ряда. Обозначение .

Определение Числовой ряд называется расходящимся, если равен или не существует.

ТЕОРЕМА 1) (критерии Коши) Числовой ряд сходится тогда и только тогда,

когда последовательность его частичных сумм фундаментальная, то есть

2) (необходимый признак сходимости) Если ряд сходится, то .

3) (достаточный признак расходимости) Если или не существует, то

ряд расходится. 4) (признак Лейбница) Если ряд знакочередующийся и последовательность монотонно стремится к нулю: и , то ряд сходится.

5) (признаки сравнения) Пусть . Тогда: а) если и сходится, то сходится; б) если и расходится, то расходится; в) если существует , то ряды одновременно сходятся или расходятся.

6) (признак Коши) Пусть . Если то ряд сходится ; если , то он расходится; если , то нужны дополнительные исследования.

7) (Признак Даламбера) Пусть . Если то ряд сходится; если , то ряд расходится; если , то нужны дополнительные исследования.

Определение Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд из модулей

сходится.

ЗАМЕЧАНИЕ Абсолютно сходящийся ряд сходится.

Определение Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд расходится.

_____

Определение Пусть . Отображение называется функцией одной переменной.

ЗАМЕЧАНИЕ Функция может быть задана тремя способами: таблично, аналитически (формулой) и графически.

Определение Функция называется монотонно возрастающей (неубывающей) на , если из следует ().

Определение Функция называется монотонно убывающей (не возрастающей) на , если из следует ()ЗАМЕЧАНИЕ Если функция монотонна (то есть монотонно убывает или монотонно возрастает) на , то на множестве значений существует обратная функции , которая также является монотонной. Обратное,вообще говоря, неверно.

Определение Следующие 5 классов функций называются основными элементарными:

1) Степенные .

2) Показательные .

3) Логарифмические .

4) Тригонометрические .

5) Обратные тригонометрические .

Определение Функция называется элементарной, если она получена из основных элементарных с помощью конечного числа, операций сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и композиции.

Определение Точка называется предельной точкой множества , если в каждой - окрестности существуют точки из , отличные от .

Определение Пусть функция определена наи - предельная точка мно

жества . Говорят что стремится к числу (имеет пределом число ), когда

переменная стремится к числу , если

Обозначение или, если определена на некоторой проколотой окрестности точки .

ЗАМЕЧАНИЕ Если определена на множестве и , то данное определение предела совпадет с определением предела последовательности

: .

Определение Пусть функция определена на и - предельная точка

множества . Говорят что функция имеет предел справа (слева) в точке

, если .

Обозначение () или ().

Определение Функция ограничена сверху (снизу) на множестве , если (). Функция ограничена на , если она ограничена на нем и сверху и снизу. Функция ограничена при , если она ограничена на некоторой окрестности (то есть ).

ЗАМЕЧАНИЕ Ограниченная на множестве функция будет ограниченной при . Обратное, вообще говоря, неверно.

ТЕОРЕМА 1) (лемма Гейне) .

2) Если существует , то он единственный.

3) Если монотонна и ограничена на , то существует конечный предел .

4) существует тогда и только тогда, когда существуют пределы функции справа и слева в этой точке и они равны.

Пусть существуют конечные пределы. Тогда 5) . 6) .

7), если. 8) Если , то

_____

Определение Функция называется бесконечно малой (БМ) при , если

. Обозначение .

ЗАМЕЧАНИЕ 1) - БМ.

2) Если БМ, то есть БМ.

3) Если - БМ, а ограниченная функция при , то есть БМ.

4) Если - БМ, а , то - БМ при .

Определение Бесконечно малая имеют порядок убывания не выше (выше),

чем бесконечно малая , если функция ограничена при

(). Обозначения ().

Определение Бесконечно малые называется эквивалентными при , если . Обозначение .

ЗАМЕЧАНИЕ Под знаком предела бесконечно малые множители можно заменять на эквивалентные, а бесконечно малые слагаемые, вообще говоря, нельзя.

Определение Функция называется бесконечно большой (ББ) при , если .

ЗАМЕЧАНИЕ Функция есть ББ при тогда и только тогда, когда функция есть БМ при .

_____

Определение Функцией эн-факториал называется функция, определенная на множестве целых неотрицательных чисел по правилу , . Пусть , . Числом сочетаний из по называется величина

ТЕОРЕМА .

СЛЕДСТВИЕ Последовательность имеет конечный предел.

ЗАМЕЧАНИЕ 1 Можно доказать, что число иррациональное. Его обозначают буквой .

ЗАМЕЧАНИЕ 2 Существует , который называется вторым

замечательным пределом.

Определение Натуральным логарифмом числа называется число .

СЛЕДСТВИЕ 1 . СЛЕДСТВИЕ 2 .

СЛЕДСТВИЕ 3 .

_____

Определение Пусть функция определена на и является предельной точкой . Говорят, что непрерывна в точке , если существует предел и он равен .

ЗАМЕЧАНИЕ Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда

где - приращение функции в точке .

Определение Функция называется непрерывной на множестве , если она

непрерывна в каждой точке этого множества.

ЗАМЕЧАНИЕ Элементарная функция непрерывна на каждом интервале, на котором она определена.

Определение Пусть и является предельной точкой. называется точкой устранимого разрыва, если существует конечный и он .

Определение называется точкой разрыва первого рода, если существуют конечные пределы справа и слева, но они различны.

_____

Определение Точка множества , в которой достигает своего наибольшего (наименьшего) значения, называется точкой максимума (минимума) функции. При этом значение функции в этой точке называется максимумом (минимумом) функции. Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а максимум или минимум – экстремумом функции.

Обозначение .

ТЕОРЕМА (свойства непрерывных функций) 1) Линейная комбинация непрерывных функций есть функция непрерывная. 2) Произведение непрерывных функций есть функция непрерывная. 3) Частное непрерывных функций есть функция непрерывная в точках, где знаменатель не равен 0. 4) Композиция непрерывных функций есть функция непрерывная. 5) Непрерывная на отрезке функция достигает на нём своих наибольшего и наименьшего значений. 6) Если непрерывна на и , то

СЛЕДСТВИЕ Если непрерывна на , то

ЗАМЕЧАНИЕ Пусть монотонно возрастает (убывает) на . непрерывна на тогда и только тогда, когда ().

Определение называется равномерно непрерывной на , если

ЗАМЕЧАНИЕ 1) Равномерно непрерывная на функция будет непрерывной на . Обратное, вообще говоря, не верно. 2) Если непрерывна на , то она равномерно непрерывна на нем.