Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Определение Матрицей размера называется совокупность чисел, расположенных в виде таблицы из m строк и n столбцов.

Обозначение

Определение Матрицы называются равными, , если они имеют одинаковые размеры и .

Определение Матрица называется квадратной, если .

Определение Диагональ квадратной матрицы, начинающаяся в левом верхнем, и оканчивающаяся в правом нижнем углу, называется главной; вторая диагональ – неглавная.

Определение Квадратная матрица называется единичной, если все числа на главной диагонали равны 1, а все числа вне главной диагонали равны 0.

Определение Матрица называется нулевой (нуль-матрица), если все ее элементы равны .

Определение Суммой двух матриц размера называется матрица .

Определение Произведением матрицы на число называется матрица .

Определение Произведением матрицы размера на матрицу размера называется матрица размера , элементы которой вычисляются по правилу .

Определение Квадратная матрица размера называется обратной к квадратной матрице размера , если .

_____

Определение 1 Определителем (детерминантом) первого порядка квадратной матрицы размера называется число .

Определение 2 Определителем -го порядка квадратной матрицы разме

ра называется число

где - определитель -го порядка матрицы, которая получается

вычеркиванием из матрицы -той строки и -го столбца.

ЗАМЕЧАНИЕ Данная формула вычисления называется разложением определителя по - ой строке. Формула разложения по - ому столбцу имеет вид

ТЕОРЕМА 1) Если в определителе поменялись местами две строки (два столбца), то новый определитель будет отличаться от исходного только знаком.

2) Если элементы одной строки (или столбца) умножить на одно и тоже число λ, то полученный новый определитель будет в λ раз больше исходного.

3) Если к одной строке (столбцу) прибавить поэлементно другую строку (столбец), то полученный новый определитель совпадет с исходным.

4) Пусть два определителя одинакового порядка различаются только одной строкой (столбцом). Тогда их сумма совпадает с определителем, у которого соответствующая строка (столбец) есть сумма строк (столбцов) слагаемых определителей.

Определение Минором порядка матрицы называется определитель матрицы, элементы которой стоят на пересечении каких-либо строк и столбцов матрицы .

Определение Рангом матрицы называется самый большой порядок у не равных нулю миноров этой матрицы. Обозначение .

Определение Квадратная матрица А называется невырожденной, если , то есть когда .

Определение Матрица называется транспонированной к матрице .

Определение Число называется алгебраическим дополнением элемента матрицы , а матрица - присоединенной матрицей к матрице .

ЗАМЕЧАНИЕ Если матрица не вырождена, то существует обратная матрица , которая вычисляется по формуле .

_____

Определение Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

называется система уравнений вида , где известные числа , называются коэффициентами СЛАУ; известные числа - свободными членами; неизвестные, искомые числа - решением СЛАУ.

Обозначения - матрица коэффициентов; - матрица свободных членов; - матрица неизвестных; - расширенная матрица СЛАУ.

Эти обозначения позволяют записать СЛАУ в матричном виде .

Определение Решить СЛАУ – это значит найти все ее решения.

Определение СЛАУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. В противном случае СЛАУ несовместна.

Определение Две СЛАУ одинакового порядка называются эквивалентными, если они

обе несовместны или обе совместны и имеют одинаковое множество решений.

ЗАМЕЧАНИЕ СЛАУ переходит в эквивалентную при следующих элементарных преобразованиях: 1) перестановка местами двух уравнений,

2) умножение какого-либо уравнения на неравное нулю число,

3) поэлементное прибавление к одному уравнению другого уравнения.

Определение СЛАУ называется определенной, если она имеет ровно одно решение и неопределенной, если решений больше одного.

ТЕОРЕМА 1) (критерий Кронекера-Капелли совместности СЛАУ) СЛАУ совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы этой СЛАУ равен рангу расширенной матрицы.

2) (критерий определенности СЛАУ) Для того чтобы СЛАУ была определенной необходимо и достаточно, чтобы она была совместной и ранг матрицы коэффициентов совпадал с числом неизвестных:

3) (формулы Крамера) Определенная СЛАУ с помощью элементарных преобразований приводится к СЛАУ, у которой матрица коэффициентов квадратная и . В этом случае решение СЛАУ вычисляется по формулам Крамера где -определитель, получаемый из заменой i-ого столбца на столбец свободных членов.

СЛЕДСТВИЕ СЛАУ с будет определенной тогда и только тогда, когда

Определение Элементарными преобразованиями матрицы называются

следующие: 1) перестановка двух строк;

2) поэлементное умножение какой-либо строки на неравное нулю число;

3) прибавление к одной строке соответствующих элементов другой строки.

ЗАМЕЧАНИЕ СЛАУ преобразуется в эквивалентную, если ее расширенную матрицу подвергнуть элементарным преобразованиям.

Определение Методом Гаусса называется метод решения СЛАУ с помощью элементарных преобразований по следующему правилу.

АЛГОРИТМ Сначала обнуляются все элементы, стоящих ниже главной

диагонали последовательно по столбцам, начиная с первого; затем обнуляют

элементы над диагональю последовательно по столбцам, начиная с -го.

_____

Определение Векторным (линейным) пространством называется множество Е, для элементов которого определены операции сложения и умножения на число, удовлетворяющие следующим аксиомам:

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8).

Определение Линейной комбинацией (линейной алгебраической суммой) элементов называется сумма вида , где - действительные числа, которые называются коэффициентами разложения.

Определение Элементы называются линейно зависимыми, если существует равная нулю линейная комбинация этих элементов, в которой не все коэффициенты равны нулю. В противном случае элементы называются линейно независимыми.

СЛЕДСТВИЕ Элементы линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них представим в виде линейной комбинации остальных.

Определение Последовательность элементов называется полной (базисом) в векторном пространстве если каждый элемент из Е (единственным образом) представим в виде линейной комбинации этих элементов.

ТЕОРЕМА 2.3 1) Последовательность является базисом в векторном пространстве тогда и только тогда, когда элементы линейно независимы и каждый элемент из представим в виде их линейной комбинации.

2) Базисы в векторном пространстве имеют одинаковое число элементов.

Определение Если в векторном пространстве существует базис, то число элементов этого базиса называется размерностью пространства Е, а пространство называется - мерным. Обозначение. .

Определение Векторное пространство Е называется бесконечномерным, если в нём не существует базис с конечным числом элементов.

Определение Декартовым произведением векторных пространств E и F называется декартово произведение соответствующих множеств , на котором определены операции сложения элементов и умножения их на число по правилу:

, .

ЗАМЕЧАНИЕ 1 Введенные операции на декартовом произведении удовлетворяют 8 аксиомам.

ЗАМЕЧАНИЕ 2 Аналогично определяются декартовы произведения пространств и .

5 развернутых важных примеров векторных пространств.

ПРИМЕР 1 Пространство векторов с общим началом .

ПРИМЕР 2 Пространство комплексных чисел .

Определение Символ вида , обладающий свойством , называется мнимой единицей.

Определение Выражение вида , где , называется комплексным числом (в алгебраической форме).

Обозначение Комплексное число традиционно обозначается буквой ; множество комплексных чисел обозначается .

Определение Вещественное число называется действительной частью комплексного числа , а вещественное число называется коэффициентом мнимой части комплексного числа.

Обозначение .

Определение Комплексные числа , называются равными, если равны их действительные и мнимые части: .

Определение Число вида называется нулём (комплексным) и кратко обозначается . Вместо обычно пишут просто .

Определение Суммой комплексных чисел , называется комплексное число .

Следующее определение несколько более общее, чем требуется в этом примере.

Определение Произведением комплексных чисел , называется комплексное число .

ЗАМЕЧАНИЕ 1 Множество комплексных чисел удовлетворяяет аксиомам 1)-8) векторного пространства относительно операций сложения и умножения на действительной число. Две аксиомы мы уже проверили.

ЗАМЕЧАНИЕ 2 Вещественная и мнимая единицы 1, образуют базис в . Поэтому .

ЗАМЕЧАНИЕ 3 В определении векторного пространство элементы умножаются на действительные числа. Аналогично определяется векторное пространство, в котором элементы умножаются на комплексные числа. В этом случае говорят о векторном пространстве над полем комплексных чисел (комплексном пространстве).

ПРИМЕР 3 Пространство матриц размера .

Определения равенства матриц, нулевой матрицы, суммы матриц и произведения

матриц на число мы уже давали. Из восьми аксиом проверим для множества

, например, четвертую. Матрица является

противоположной к матрице .

Действительно, - нуль-матрица.

ЗАМЕЧАНИЕ Попарно различные матрицы размера в количестве

штук, у каждой из которых один элемент равен 1, а остальные равны 0, образуют

базис в пространстве .

ПРИМЕР 4 Пространство многочленов степени .

Определение Многочленом степени называется функция вида , где (или ), причем . То есть многочлен является линейной комбинацией степеней

Определение Многочлены , называются равными, если у них совпадают коэффициенты при одинаковых степенях

Определение Многочлен называется нулевым (нулем в простран стве) и обозначается .

Определение Суммой многочленов называется многочлен .

Определение Произведением числа на многочлен

называется многочлен .

ЗАМЕЧАНИЕ 1 Множество удовлетворяет аксиомам 1)-8), и потому является векторным пространством.

ЗАМЕЧАНИЕ 2 Последовательность многочленов является базисом в . Поэтому .

ПРИМЕР 5 Арифметическое пространство .

мы обозначили множество упорядоченных -ок действительных чисел.

Определение Две -ки называются равными, если числа, стоящие на одинаковых местах, совпадают: .

Определение Нулём в называется - ка вида .

Определение Суммой двух - ок называется - ка .

Определение Произведением числа на - ку называется - ка

ЗАМЕЧАНИЕ 1 Множество удовлетворяет аксиомам 1)-8), и потому является векторным пространством.

ЗАМЕЧАНИЕ 2 Элементы

образуют базис в . Следовательно, .

ЗАМЕЧАНИЕ 3 Множества чисел не являются векторными пространствами.

_____

Определение Отображением множества в множество называется правило, сопоставляющее каждому элементу из один элемент из . В случае отображение называется преобразованием.

Обозначение Правило обозначается латинскими буквами. Например, .

Определение Множество называется областью определения отображения ;

множество - областью значений отображения; множество

- множеством значений (образом отображения) .

Определение Отображение из векторного пространства в векторное пространство называется линейным оператором (отображением), если

Определение Линейный оператор называется изоморфизмом векторных пространств и , если он переводит разные элементы в разные: , и каждый элемент из является образом некоторого элемента из : . При этом пространства называются изоморфными.

ЗАМЕЧАНИЕ 1 Это понятие позволяет формулировать результаты для векторного пространства на языке изоморфного ему пространства. Иногда это оказывается удобным.

Определение Линейный оператор из в называется линейной формой (линейным функционалом).

Определение Отображение из векторного пространства в вектор ное пространство называется - линейным полилинейным) отображением, если оно является линейным отображением из в по каждой переменной , , при фиксированных остальных.

Определение - линейное отображение из в называется - линейной (полилинейной) формой.

ЗАМЕЧАНИЕ 2 - линейное отображение принято называть билинейным отображением.

Определение Билинейная форма называется скалярным произведением на векторном пространстве , если она обладает свойствами:

1) ; 2) ; 3)

Обозначение .

Определение Отображение , называется нормой, если оно обладает

свойствами:

1); 2) ; 3) .

ЗАМЕЧАНИЕ 1 Понятие нормы, как нетрудно заметить по свойствам, обобщает понятие длины вектора в .

ЗАМЕЧАНИЕ 2 Каждое скалярное произведение порождает норму в по правилу .

СЛЕДСТВИЕ Естественное скалярное произведение в обладает свойством .

Определение -мерным евклидовым (точечным) пространством называется тройка объектов: -мерное векторное пространство , какое-либо скалярное произведение на нём и множество “точек” , которые согласованы следующим образом:

1) каждой упорядоченной паре точек поставлен в соответствие один элемент

, который обозначают ; 2) существует единственная точка со свойством ; 3) .

Обозначение .

Определение Расстоянием между двумя точками называется число

Определение мерным аффинным пространством называется пара со свойствами 1) -3).

Определение мерным евклидовым векторным пространством называется пара .

Определение - мерным арифметическим евклидовым пространством называет ся тройка объектов: арифметическое пространство , естественное скалярное произведение и множество ”точек” . При этом точки , свяжем с вектором из по правилу . Тогда расстояние между точками , вычисляется по формуле

____

Определение В мерном евклидовом пространстве совокупность каких-либо точки и базиса называется декартовой системой координат (ДСК).

Определение Символом Кронекера называется отображение , определяемое по правилу , если и , если .

Определение Базис называется ортонормированным, если .

ЗАМЕЧАНИЕ Элементы такого базиса попарно перпендикулярны:

и их нормы равны единице: . Здесь аналогия со школой, когда равенство нулю скалярного произведения означало ортогональность векторов, а квадрат модуля вектора совпадал со скалярным произведением вектора на себя.

Определение ДСК, в которой выделенный базис является ортонормированным, называется прямоугольной декартовой системой координат (ПДСК).

ЗАМЕЧАНИЕ Всюду ниже ДСК предполагается прямоугольной, если не оговорено противное.

Определение Коэффициенты разложения элемента по базису , называются, как и ранее, координатами (компонентами) вектора в базисе .

Обозначение . Это обозначение объясняется изоморфизмом между пространствами и , устанавливаемым линейным оператором , где .

Определение Радиусом-вектором точки и ПДСК называется вектор .

Определение Координатами точки в ПДСК называются компоненты её радиуса-вектора .

Обозначение Если , то .

Определение Пусть дана матрица размера и последовательность чисел . -мерной плоскостью в -мерном евклидовом пространстве с фиксированной ПДСК называется множество точек , координаты которых удовлетворяют СЛАУ .

Определение Прямой в называется -плоскость.

Определение Полярной системой координат в называется совокупность точки (-полюс) и луча с началом в этой точке (-полярная ось).

Определение Полярными координатами точки называется пара чисел , где угол между полярной осью и вектором , отсчитываемый против часовой стрелки.

ЗАМЕЧАНИЕ 1 Каждая точка евклидовой плоскости вполне определяется заданием полярных координат.

ЗАМЕЧАНИЕ 2 Совместим прямоугольную декартову и полярную системы координат так, чтобы начало координат совпадало с полюсом, а ось - с полярной осью Тогда декартовы координаты точки и ее полярные координаты связаны, как легко усмотреть из рисунка, равенствами

, .

Определение В с ПДСК фиксируем точку . Тройка чисел , где , называется сферическими координатами точки .

ЗАМЕЧАНИЕ 1 Каждая точка вполне определяется своими сферическими координатами.

ЗАМЕЧАНИЕ 2 Так как , то декартовы и сферические координаты точки связаны равенствами .

Определение В с ПДСК фиксируем точку . Тройка чисел , где называется цилиндрическими координатами точки .

ЗАМЕЧАНИЕ 1 Каждая точка вполне определяется своими цилиндрическими координатами.

ЗАМЕЧАНИЕ 2 В ПДСК декартовы и цилиндрические координаты точки связаны равенствами: .

_____

Определение Пусть даны ось (направленная прямая) и вектор . Опустим перпендикуляры из его концов на ось. Проекцией вектора на ось называется расстояние между основаниями этих перпендикуляров, взятое со знаком "+", если , со знаком "-", если и равное нулю, если . Правило, сопоставляющее каждому вектору его проекцию на ось, называется операцией проектирования. Обозначение пр.

ТЕОРЕМА 1) пр. 2) прпр+ пр.

3) прпр, то есть операция проектирования является линейным функционалом. 4) Фиксируем ПДСК в . Тогда проекции вектора на оси

координат совпадают с компонентами этого вектора в базисе : если , то пр, пр, пр;

5) Косинусы , , называются направляющими

косинусами вектора и связаны равенством =1.

СЛЕДСТВИЕ Скалярное произведение векторов связано с операцией проектирования равенством .

ЗАМЕЧАНИЕ Пусть точка делит отрезок с концами в точках

в отношении . Тогда координаты вычисляются по

формулам .

____

В следующей теореме собраны свойства скалярного произведения.

ТЕОРЕМА 1) . 2) . 3) .

4) Скалярное произведение является билинейной формой на .

5) Если в ПДСК , то .

Определение (физический смысл скалярного произведения) Работой постоянной силы по перемещению материальной точки из начала в конец вектора называется величина .

_____

Определение Упорядоченная тройка некомпланарных векторов с общим началом называется правой (левой), если из конца вектора движение от к по кратчайшему из двух углов происходит против (по) часовой стрелки(е).

Определение Векторным произведением векторов называется вектор , если . В противном случае векторным произведением называется вектор , который вполне определяется свойствами:

1) ; 2) ; 3) - правая тройка векторов.

Определение Смешанным произведением трех векторов называется число .

ЗАМЕЧАНИЕ 1 (геометрический смысл модуля)

1) численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах как на сторонах. 2) численно равен объему призмы, построенной на векторах как на ребрах .

ЗАМЕЧАНИЕ 2 .

В следующей теореме собраны свойства векторного произведения.

ТЕОРЕМА 1) Векторное произведение является билинейным отображением из

в . 2) Если , то .

СЛЕДСТВИЕ Ненулевые векторы параллельны тогда и только тогда, когда .

Векторное произведение имеет до десятка физических смыслов. Приведем наиболее характерные.

Определение (физический смысл векторного произведения). Моментом относительно точки силы , приложенной к точке , называется вектор .

Определение (физический смысл векторного произведения) Пусть материальная точка вращается по окружности (с центром ) с линейной скоростью . Вектором угловой скорости вращения этой точки относительно цента называется расположенный на оси вращения вектор , определяемый равенством . Это равенство называется формулой Эйлера.

В следующей теореме собраны свойства смешанного произведения.

ТЕОРЕМА 1) (векторы компланарны)

2) Смешанное произведение является 3– линейной формой: .

3) Если , то .

Напомним, что плоскостью L (2 - плоскостью) в с фиксированной ПДСК называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению , где . Определение Вектором нормали к плоскости называется вектор, перпендикуляр ный любому вектору, начало и конец которого лежат в этой плоскости. Определение Углом между плоскостями называется угол между их векторами нормалей. В зависимости от выбранных векторов нормалей этот угол имеет два значения. ТЕОРЕМА Пусть заданы 3 плоскости ; . Тогда имеют место следующие утверждения. 1) . 2). 3) Плоскости пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда .

4) плоскости пересекаются по одной прямой тогда и только тогда, когда . 5) . 6) Расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле

Определение Пусть векторы не коллинеарны, и задана точка . Формула , определяющая множество точек с координатами в , называется параметрическим уравнением плоскости. ЗАМЕЧАНИЕ а) Если плоскость задана параметрическим уравнением, то ее общее уравнение имеет вид. б) Если плоскость задана уравнением и для определенности , то ее параметрическое уравнение можно задать, например, в виде . Следующее замечание доказывается аналогично теореме.

ЗАМЕЧАНИЕ Пусть в какой-либо ПДСК в евклидовой плоскости заданы две прямые уравнениями . Тогда справедливы следующие утверждения. 1) . 2) . 3)_. 4) Расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле .

_____

Определение Множество точек, координаты которых удовлетворяют СЛАУ , (1) где , называется уравнением прямой в , проходящей через точку . Определение Пусть даны вектор и точка . Система уравнений вида (2)

называется каноническим уравнением прямой.

Формула, , (3) определяющая множество точек в с координатами , называется параметрическим уравнением прямой. ЗАМЕЧАНИЕ 1 Направляющий вектор параллелен любому вектору, начало и конец которого лежат на этой прямой. ЗАМЕЧАНИЕ 2 Уравнения (1), (2), (3), в которых задают одну и ту же прямую в . Определение Углом между двумя прямыми называется угол между направляю щими векторами этих прямых. Этот угол принимает два значения. ТЕОРЕМА Пусть даны две прямые и плоскость . Тогда имеют место утверждения. 1) скрещиваются . 2) 3) . 4) пересекаются . 5) . 6) Расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле

. 7) Расстояние между двумя прямыми вычисляется по формуле .

Приведем без доказательства виды уравнения прямой в евклидовой плоскости . ЗАМЕЧАНИЕ а) - каноническое уравнение прямой на плоскости. б) - уравнение прямой, проходящей через две точки . в)