Разложение света по положительным частотам

Тема 7. Спектр света.

Прямое и обратное преобразование Фурье для вещественной напряженности электрического поля в одной точке пространства имеют следующий вид

, здесь коэффициент может быть разделен на два сомножителя в интегралах произвольным образом.

Вещественность накладывает некоторые ограничения на вид ее Фурье образа . И действительно, из вещественности следует равенство . Подставим в обе части равенства вместо величины ее представление в виде Фурье интеграла и получим . Заменим в первом интеграле и перенесем все в правую часть равенства. Тогда получим

. Это равенство можно рассматривать, как Фурье разложение по частотам нуля, который стоит в правой части равенства. Из единственности разложения по частотам следует, что Фурье образ нуля должен быть тождественно нулем, тогда , откуда получаем . То есть, Фурье образ поля на отрицательных частотах может быть выражен, как комплексно сопряженная величина к Фурье образу на положительных частотах. Тогда Фурье интеграл по всем частотам можно выразить через Фурье интеграл только по положительным частотам.

= =

В первом интеграле заменим и воспользуемся равенством , тогда = . Заметим, что первое слагаемое является комплексно сопряженным ко второму, тогда

, так как при сложении комплексно сопряженных величин вещественная часть удваивается, а мнимая сокращается.

В результате получаем разложение вещественного электрического поля по всем частотам и по положительным частотам

Комплексным полем можно считать выражение , если не брать от него вещественную часть. Величина показывает, сколько в поле содержится сигнала с частотой .

Обычно мы не знаем величину электрического поля на бесконечном временном интервале. В таком случае за пределами известного интервала времени либо считают поле равным нулю, либо считают, что поле периодически повторяется с периодом . Пусть поле — периодическая функция времени. Тогда ее можно разложить в ряд Фурье по кратным частотам.

, где .

Из-за вещественности поля амплитуды разложения по отрицательным частотам, аналогично интегралу Фурье по отрицательным частотам, могут быть выражены, как комплексно сопряженные величины к амплитудам на положительных частотах . В результате можно получить разложение поля как по частотам обоих знаков, так и только по положительным частотам.

Если на левое равенство подействовать оператором , где вместо жирной точки нужно подставить левую и правую часть равенства, то все слагаемые в правой части равенства кроме -ого слагаемого обнуляются в результате интегрирования. Откуда получаем амплитуды ряда Фурье .