Приведение линейного уравнения 2-го порядка к уравнению, не содержащему члена с первой производной

(1)

1. Сделаем замену (2), где z(x) – новая неизвестная функция, - дважды дифференцируемая в интервале непрерывности коэффициентов уравнения (1).

(3).

Подставим (3) в уравнение (1) и разделим на . Получим:

(4).

Приравняем коэффициент при к нулю.

(5).

Положим С=1: (5’).

Таким образом, (6)

(7).

Тогда уравнение (6) принимает вид: (8).

Функция называется инвариантом уравнения (1).

(8’).

Если интегрируется уравнение (8’), то интегрируется и уравнение (1).

Очевидно, что если Q(x)=const, или , то (8’) интегрируется в квадратурах.

Пример.

Подставляя значение функции и её производных в исходное уравнение, получаем

- уравнение Эйлера

- общее решение данного уравнения.

2. Избавимся от члена с первой производной, делая замену независимой переменной.

(1).

(9)

(10).

Подставим (10) в уравнение (1) и разделим на . Получим: (11).

Приравняем коэффициент при к нулю.

(12).

Интегрируя уравнение (12), получим, что (13).

Уравнение (1), заменой (13), приводится к виду

(14), не содержащему первой производной.

Пример. (15)

Сделаем замену (13): .

(16)

- общее решение уравнения (15).