Линейные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами

, (1)

a₁, a₂, …, a_n – постоянные вещевтвенные числа, непрерывная в интервале (a,b).

Рассмотрим сначала соответствующие уравнению (1) уравнение (2),

(2)

Будем искать уравнение (2), следуя Эйлеру, в виде

(3),

(4)

Подставляя (4) в уравнение (2), получим

или (4)

Таким образом получаем

(5)

– называется характеристическим многочленом или характеристическим уравнением.

Случай 1:

Все корни характеристического многочлена l₁, l₂, …, l_n различны и вещественны.

Каждому корню l_i соответствует частное решение

(i=1..n)

– линейно независимая система функций, т.е. ФСР.

(6) – общее решение уравнения .

Пример:

,

,

– общее решение данного уравнения.

Случай 2:

Среди корней характеристического уравнения есть комплексный корень

Пусть, тогда ,

l₃, l₄, …, l_n – различные и вещественные корни.

(формула Эйлера)

– комплексная функция действительной переменной. Тогда –

, – также

являются решениями уравнения.

Очевидно, что сопряжённый корень не порождает новых решений.

Таким образом, ФСР в данном случае

,,

и общее решение имеет вид:

Пример:

,

– характеристическое уравнение,

,

, ,

– общее решение.

Случай 3:

Среди корней характеристического уравнения есть кратный действительный корень.

Пусть– корень кратности k.

P(λ₁) = 0, P^/ (λ₁)= 0, …, P^(k-1) (λ₁)=0, P^(k) (λ₁)≠0.

Запишем полученное ранее выражение (4) и продифференцируем его по λ m раз, используя для правой части формулу Ньютона-Лейбница, а для левой свойства оператора L.

. (9)

(10)

Подставим в уравнение (10) λ = λ₁ и используем, что

P(λ₁) = 0, P^/ (λ₁)= 0, …, P^(k-1) (λ₁)=0.

Получим, что

– решение уравнения (10) при m = 0, 1,…, (k-1).

,,…,,,… – ФСР.

(11)

(11) – общее решение уравнения (2).

Пример:

,

– характеристическое уравнение,

,, ,

– общее решение.

Случай 4:

Характеристическое уравнение имеет комплексный корень кратности k. Тогда оно имеет и сопряжённый комплексный корень. Таким образом, для построения ФСР нужно 2k линейно независимых решений, соответствующих этим кратным сопряжённым комплексным корням.

Отделяя вещественные и мнимые части комплексных решений

, , …, , получим

,, …,

(12)

,, …, .

Таким образом, каждой паре сопряжённых комплексных чисел кратности k соответствует 2k линейно независимых решений вида (12).

И общее решение имеет вид:

(13)

Пример:

, – комплексные решения.

Отделяя вещественные и мнимые части комплексных решений, получим:

– ФСР

– общее решение данного уравнения.

13.Нахождение частного решения неоднородного уравнения методом неопределённых коэффициентов.

1.

(14), где R_m(x) полином степени m с вещественными или комплексными коэффициентами, а – постоянное вещественное или комплексное или равное нулю число.

Случай 1.1:

P(a)≠0

В этом случае частное решение y₁ уравнения L[y] = 0 (1) следует искать в виде:

, где (15)

,

где (16)

Распишем левую часть (16), используя свойства оператора L подробнее

(17)

Сокращая на и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем:

:

:

… (18)

:

Так как P(a) ≠ 0, все q_i находятся из (18) последовательно единственным образом.

Случай 1.2:

«а» является корнем характеристического многочлена кратности k, т.е. P (a) = 0, P^/ (a) = 0, …, P^(k-1) (a) = 0, P^(k) (a) ≠ 0.

Тогда частное решение ищется в виде (19)

Доказательство аналогично случаю 1.

2.

(20)

- заданные полиномы от степени равной или меньшей m, причём хоть один из них имеет степень m.

Заменяя , (21)

2. сводится к случаю 1.

Используем результаты случая 1.

Случай 2.1:

Число не является корнем характеристического уравнения. Тогда частное решение имеет вид:

(22)

где –полиномы степени m с неопределёнными коэффициентами, которые определяются единственным образом.

Случай 2.2:

Число является корнем характеристического уравнения кратности k (k≥1). Тогда частное решение имеет вид:

(23)

где –полиномы степени m с неопределёнными коэффициентами, которые определяются единственным образом.

Пример 1:

,

– характеристическое уравнение,

– общее решение однородного уравнения.

Случай?.?:

а =1 не является корнем характеристического уравнения. Тогда частное решение имеет вид:

,

Подставляя значения и в уравнение и сокращая на e ^x , получаем: .

Откуда . .

–общее решение данного уравнения.

Пример:

,

,

,

– общее решение однородного уравнения.

1) не является корнем характеристического уравнения.

Тогда

2) , является корнем характеристического уравнения.

Тогда

Подставляя значения и в уравнение , получаем:

,

, такой член называется вековым.

ЛЕКЦИЯ 5: