Задачи, приводящиеся к интегральным

Одной из первых задач, связанной с интегральными уравнениями, была задача обращения интеграла.

(1).

Решение этой задачи получил Фурье:

(2)

К интегральным уравнениям типа Вольтера приводит задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.

, (3)

Если есть решение дифференциального уравнения (3), то подставляя в уравнение (3) и интегрируя по от до , получим:

(4).

Уравнения (3) и (4) – эквивалентны.

Рассмотрим уравнение: с условиями , (5)

Свести задачу Коши для данного уравнения к интегральному уравнению.

Обозначим , тогда .

Итак, ,

(6)

Подставляя в исходное уравнение, получим:

(7)

или

,

где ,

(8).

Получим уравнение Вольтера или – уравнение Фредгольма.

, где

ЛЕКЦИЯ 13.

Теорема о существовании и единственности решения линейного интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода с параметром.

Рассмотрим уравнение (1)

– постоянное число, может быть комплексным.

; и - непрерывные функции и, следовательно, ограничены, т.е. . (2) ,

Будем доказывать существование и единственность решения уравнения (1), используя принцип сжатых изображений.