Принцип сжатых изображений

Теорема. Если в полном метрическом пространстве М задан оператор А, удовлетворяющий следующим условиям:

1) Оператор А переводит точки пространства М в точки того же пространства, т.е. , то ;

2) Оператор сближает точки, т.е.

; - расстояние между точками, не зависит от выбора точек и z.

Тогда существует единственная неподвижная точка , что , и эта точка может быть найдена методом последовательных приближений, т.е. , где (3), причем .

Пояснения к теореме.

Ι. Пространство М называется метрическим, если в нём определена функция , удовлетворяющая следующим условиям:

1. ;

2. ;

3. .

Здесь, называется расстоянием.

ΙΙ. Метрическое пространство называется постоянным, если любая фундаментальная последовательность точек пространства М сходится в этом пространстве. Последовательность называется фундаментальной, если для , что для и для : .

Доказательство.

Покажем, что (3) - фундаментальная последовательность.

(4)

Итак, (в силу полноты пространства М). Покажем, что неподвижна.

Пусть .

так как последовательность фундаментальная.

Итак, . Следовательно, .

Докажем, что эта точка единственная. Предположим, что есть ещё одна z такая, что A(z) = z.

Тогда , что противоречит второму условию теоремы.

- единственная точка.

Применим принцип сжатых отображений для доказательства теоремы о существовании и единственности решения уравнения (1).

Рассмотрим функциональное пространство непрерывных функций, заданных на промежутке I. Под расстоянием на этом пространстве между двумя любыми элементами этого пространства будем понимать (5).

Пространство является полным. Т.е. фундаментальная последовательность имеет предел, принадлежащий этому пространству:

В полном метрическом пространстве существует единственная неподвижная точка у оператора сжатых отображений. Ах = х.

Обозначим: - интегральный оператор.

Тогда (6) и уравнение (1) будет иметь вид х = Ах (7). Если мы докажем, что А – оператор сжатых отображений, то тем самым будет доказано, что уравнение (1) имеет единственное решение.

(8)

(9).

Если сделать , то оператор будет сжимающим, т.е. (10). Параметр с таким условием называется малым.

Уравнение Фредгольма (1) с условием (10) имеет единственное решение. Если Т – переменная величина, т.е. уравнение (1) есть уравнение Вольтера, то можно сделать за счёт малости интервала по t. Уравнение Вольтера имеет единственное решение на достаточно малом промежутке.

Рассмотрим однородное уравнение Фредгольма 2-го рода: (11).