Теорема Фредгольма для уравнения (1)

Если λ не является характеристическим (собственным) числом, то интегральное уравнение (1) имеет единственное решение при любом свободном члене f(t).

Это первая теорема Фредгольма для уравнения (1).

(9) называется присоединённым или союзным к однородному уравнению .

Вторая теорема Фредгольма.

Если λ является собственным числом интегрального уравнения и этому числу соответствует k линейно независимых решений однородного уравнения (1) {f(t)=0}, то союзное уравнение (9) имеет столько же, т.е. k, линейно независимых решений.

Для определения получают систему, сопряжённую с системой (7). Эти системы имеют одинаковое число линейно независимых решений.

Третья теорема Фредгольма.

Неоднородное интегральное уравнение с вырожденным ядром (1) при собственном значении λ будет разрешаемо тогда и только тогда, когда свободный член f(t) будет ортогонален ко всем решениям союзного однородного уравнения (9).

Т.е. , (k = 1,2,...,n), где - решения союзного уравнения (9).

Пример.

Обозначим: .

ЛЕКЦИЯ 14: