Давление в междроссельной камере

При последовательном соединении пневматических сопротивлений стоит задача определения давления р 1 в междроссельной камере (см. схему). Рассматриваемая схема является элементом (половиной) пневматического распределительного устройства типа струйная трубка или делителем давления. В случае регулируемых дросселей это простейший регулятор давления.

При анализе этой схемы задано: входное давление - p z, выходное давление р а, проходные сечения соответствующих сопротивлений А ₁₁ и А ₂₁, параметры сжатого газа k,R,T.

Необходимо определить давление р 1в междроссельной камере.

Расходом G 1из междроссельной камеры задаются.

Для расчета примем допущения: коэффициенты расхода дросселей одинаковы 1= 2, температуры газа перед дросселями равны между собой и постоянны T 1 = T 2 = Tz.

Исходным соотношением для решения задачи является уравнение неразрывности расходов

G ₁₁ = G ₂₁ + G ₁.

В приведенном уравнении неразрывности расходы определяются соответствующими дросселями. Рассмотрим несколько частных случаев.

1. Режим течения через оба дросселя сверхкритический

р ₁ / p z≤ k, pa/ р ₁≤ k,

расхода из камеры нет G ₁ = 0.

Подставляя уравнения расхода через каждый дроссель в уравнение неразрывности получим

₁₁ A ₁₁ pzФ(k)Ф(RTz) = ₂₁ A ₂₁ р ₁ Ф(k)Ф(RTz)

откуда

Примечание: При использовании результатов расчета по приведенной формуле необходимо проверить выполнение условий сверкритического течения через оба дросселя.

2. Режим течения через оба дросселя сверхкритический

р ₁/ p z≤ k, p_a/ р ₁≤ k,

расход из камеры не равен нулю G₁ 0.

На основании уравнения неразрывности можно определить расход газа G 1при известном давлении р 1

G ₁ = ₁₁ A ₁₁ pzФ(k)Ф(RTz) - ₂₁ A ₂₁ р ₁ Ф(k)Ф(RTz)

или по заданному расходу определить давление в междроссельной камере

3. Режимы течения произвольные, расхода из камеры нет G ₁ = 0.

G ₁₁ = G ₂₁,

G ₁₁ = ₁₁ A ₁₁ pzФ(k)Ф(RTz), при p ₁ / pz ≤ _k,

G ₁₁ = ₁₁ A ₁₁ pzФ(RTz)Ф(k)Ф(), при р ₁ / pz≥ _k,

G ₂₁ =₂₁A₂₁р ₁ Ф(k)Ф(RTz), при p_a/ р ₁≤_k,

G₂₁ = ₂₁ A₂₁ р ₁ Ф(RTz)Ф(k)Ф(), при p_a/ р ₁ ≥ _k,

Приведенная система уравнений является нелинейной и решается или численными методами на ЭВМ или графо-аналитически. При решении на машине необходимо описать расход не только в положительной, но и в отрицательной областях как показано на рисунке.

При графо-аналитическом решении необходимо все расходы представить как функции одного аргумента. Для расхода G ₁₁ это = р 1/ p z, для расхода G ₂₁ это = p_а/ р ₁ = (p_a/ p z)/(р ₁/ p z).

5.4. Наполнение и опорожнение полости.

Динамические процессы в пневматических системах в основном определяются процессами в емкостях. Под динамическими процессами понимаются временные задержки, связанные с временем наполнения и опорожнения полостей сжатым газом.

Описание указанных процессов является достаточно сложным, т.к. необходимо учитывать одновременное изменение нескольких переменных:

- изменения давления р в емкости и, связвнное с ним, изменение режимов истечения,

- изменение температуры Т газа в полости, обусловленное расширением или сжатием газа,

- подвод или отвод теплоты, т.к. процессы в общем случае являются политропными.

Исследованиями установлено, что показатель политропы n изменяется в процессах наполнения и опорожнения от значения показателя адиабаты n = k (при очень быстром процессе) до значения n =1 (при очень медленном процессе). Вне зависимости от того теплоизолированы стенки резервуара или нет, в начале истечения процесс расширения газа в емкости адиабатический, а к концу приближается к изотермическому. Расхождения в определении времени наполнения или опорожнения полости при применении адиабатического или изотермического описаний составляет около 20%.

Исходную схему для анализа представим в приведенном выше виде.

К ранее рассмотренной схеме здесь добавлена полость объемом Vo. Задачей анализа является определение зависимости р 1 (t).

Исходными положениями являются:

- закон сохранения энергии (первый закон термодинамики),

- закон сохранения вещества (неразрывность потока),

- уравнение состояния идеального газа.

Уравнение первого закона термодинамики будет

Изменение теплоты, которое сообщается газу в емкости определяется следующими процессами:

- вносится теплота с входным газовым потоком

- выносится теплота с выходным газовым потоком

- поступает или отдается теплота через стенки сосуда в зависимости от соотношения температур

dQ_т/dt.

Так как мы рассматриваем процесс в замкнутом постоянном объеме, то работа термодинамической системы равна нулю потому, что dV = 0

dL/dt = 0.

Внутренняя энергия газа в полости определяется его температурой и теплоемкостью при постоянном объеме

откуда получим

После подстановки приведенных соотношений в уравнение первого закона термодинамики получим

В полученном выражении необходимо избавиться от массы газа и ее производной для чего можно использовать уравнение состояния

откуд после диференцирования получим

После подстановки в уравнение сохранения энергии получим с учетом, что dV/dt=0

или окончательно с учетом, что k = c_p/c_v

(а)

В итоге преобразований мы получили дифференциальное уравнение с двумя переменными (p ₁, T ₁). Для определения однозначного решения необходимо еще одно уравнение связывающее эти две переменные. Дополнительную связь между ними можно получить на основании уравнения сохранения количества вещества

Vo = m,

где - плотность газа в емкости. После диффиринцирования получим

где

Плотность газа определяется на основании уравнения состояния

= р 1/(RT ₁)

откуда для производной плотности по времени получим

Подставляя полученное выражение в уравнение производной плотности после преобразований получим

(б)

Полученное уравнение связывает искомые переменные р ₁ и T ₁ и вместе с полученным ранее позволяет получить однозначное решение задачи. При этом имеется возможность находить зависимость давления р 1(t) и температуры T ₁ (t) в полости как при наполнении, так и при опорожнении.

Полученные уравнения является нелинейными и, в общем случае, для решения требуют применения численных методов, например, в среде MATLAB. Схема решения системы урвнений (а) и (б) для некоторых конкретных параметров приведена ниже. В начале процесса производится наполнение полости, для чего открывается проходное сечение дросселя А11. Через 2 секунды входной дроссель А11 закрывается. Затем на 3-й секунде открывается дроссель опорожнения А21 на 1 секунду. Давление в полости р ₁ и температура Т₁ изменяются как показано на графике. При наполнении полости газ сжимается и его температура Т₁(t) растет, при опорожнении – температура газа в полости падает. При закрытых дросселях температура Т₁(t) за счет теплообмена с окружающей средой вырвнивается и становится равной окружающей температуре.

Графики решения системы уравнений (а) и(б).

Для последующего анализа наполнения и опорожнения полости постоянного объема рассмотрим некоторую идеализацию процессов. Будем считать, что теплообмен отсутствует k _т= 0. Будем считать температуру в полости постоянной и равной входной температуре T ₁ = T_z= const, т.е. dT ₁ /dt = 0. При этих допущения уравнения примут вид

Уравнения по структуре одинаковы, только отличаются множителем k. Первое уравнение соответствует адиабатической гипотезе процессов в полости, второе - изотермической.