Доказательство свойства 6)

Свойства условных математических ожиданий.

1)
2) при
3)
4)
5) – формула полной вероятности
6) если , то ; в том числе
7) если , то
8) если и независимы, то
9)
10)

Доказательства свойств 1), 2), 3), 4), 8), 9) очевидны.

Доказательство свойства 5).

Так как ; при , то свойство доказано.

Доказательство свойства 7).

следовательно,

Пусть ; ; .

.

Т.е. для доказательства свойства достаточно показать, что справедлива

Так как

то

что и доказывает ().

Доказательство свойства 10) следует из 7).

Пусть – конечное вероятностное пространство.

, .

Определение. Последовательность случайных величин называется мартингалом относительно потока , если

 1)

 2) .

Можно считать, что .
Следовательно .

Пусть .

Определение. Случайная величина со значениями называется моментом остановки относительно потока , если для любого случайная величина  - измерима, т.е. - - момент остановки.

Пример.

так как ;  ; и т.д.

Теорема. Пусть – мартингал и – некоторый момент остановки относительно разбиения . Тогда

где

и, следовательно, .