Формула Бернулли. Задание – На примере конкретного туроператора

Задание – На примере конкретного туроператора

По принадлежности туристского продукта.

Туроператор всегда имеет запас туристского продукта для продажи, а турагент запрашивает определенный продукт (услугу) только тогда, когда клиент выражает покупательский интерес.

1. Общая характеристика, дата создания, сайт, награды;

2. Основные направления деятельности;

3. Страны и курорты, которые предлагает ТО из Н.Новгорода и Москвы

4. Даты перелета и самолеты, на которых осуществляется перевозка пассажиров;

5. Полезная информация на сайте

Пусть производится несколько испытаний, в результате которых может появиться некоторое событие
с определенной вероятностью.

Определение 27. Если вероятность события в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний,
то такие испытания называются независимыми относительно события .

Предположим, что в одинаковых условиях проводятся n независимых испытаний, в каждом из которых
вероятность появления события равна . Нужно найти вероятность того, в этих n испытаниях событие
произойдет m раз. Непосредственное применение теорем сложения и умножения вероятностей для
поставленной задачи с увеличением числа испытаний приводит к очень громоздким вычислениям. Необходимо
применение других способов.
Обозначим события ={событие произошло в -ом испытании}, где i=1,2,...,n.
, тогда .
Событие в n независимых испытаниях может появится ровно m раз в разных комбинациях, например,
и так далее, таких
комбинаций . По условию, испытания независимые, поэтому события, входящие в комбинации, тоже
независимые, следовательно,

.

Так как все комбинации, подобные комбинации , являются несовместными событиями и не важно, в какой
последовательности появляется событие и в какой событие , то по теореме сложения
вероятностей для несовместных событий:

(23)

Данная формула называется формулой Бернулли.
Она имеет важное значение в теории вероятностей, так как она связана с повторением испытаний в одинаковых
условиях, в которых как раз и проявляются законы теории вероятностей.
Так как события, состоящие в различном числе появлений события в серии из n испытаний, несовместны и
образуют полную группу, то

(24)

Пример 30. Вероятность изготовления на станке стандартной детали равна 0,9. Найти вероятность того, что
из 6 наудачу взятых деталей 4 будут стандартными.
Решение. Так как извлечение деталей - это независимые испытания, то вероятность того, что из 6 извлеченных
деталей 4 стандартные, надо вычислять по формуле (23):

.

Определение 28. Наивероятнейшим числом появления события в независимых испытаниях
называется число, для которого вероятность не меньше вероятностей каждого из остальных
возможных исходов испытаний.

Данное число удовлетворяет следующим условиям:

(25)

Длина интервала, определяемого этими неравенствами равна: .
Если границы этого интервала дробные числа, то для получаем одно значение:

(26)

где - целая часть числа .
Если границы интервала - целые числа, то для получаем два значения (концы интервала):

(27)

Пример 31. Вероятность поражения самолета равна . Найти наиболее вероятное число пораженных
самолетов в группе из 13 бомбардировщиков, если самолеты поражаются независимо друг от друга.
Решение. Число испытаний - это число самолетов,так как , то для получаем два значения: и .

Вопрос. При данном технологическом процессе 85% продукции - высшего сорта.
Наивероятнейшее число изделий высшего сорта в партии из 150 изделий равно.

Формула Пуассона

В приложениях часто приходится вычислять вероятности различных событий, связанных с числом успехов
в испытаниях схемы Бернулли при больших значениях . В этом случае по формуле Бернулли
вычисления становятся затруднительными. Затруднения при вычислениях возникают и в случае малых значений и . Если число независимых испытаний велико, то есть , а вероятность появления некоторого
события в отдельном испытании мала, то есть , но так, что , то вероятность того, что
в независимых испытаниях событие появится раз вычисляется по формуле Пуассона:

(28)

Пример32. Телефонная станция обслуживает 400 абонентов. Для каждого абонента вероятность того,
что в течение часа он позвонит на станцию, равна 0,01. Найти вероятность того, что в течение часа 5
абонентов позвонят на станцию.
Решение. Согласно условию , то есть число испытаний велико, а вероятность появления
события(звонок абонента) в отдельном испытании мала, тогда .
В соответствии с формулой (28) находим:

.

Если мало , то есть вероятность непоявления события в отдельном испытании, то формулу Пуассона
можно использовать для вычисления вероятности того, что в независимых испытаниях событие
не появилось раз.

Вопрос. Если число независимых испытаний равно 10, то вероятность того, что событие произошло 4 раза,
надо вычислять по формуле Пуассона.

неверно

верно