Операции над событиями

■ Сумма (объединение) событий A и B – событие, состоящее в появле­нии хотя бы одного из событий A и B. Сумма событий обозначается как A + B (или A È B).

■ Произведение (пересечение) событий A и B - событие, со­стоящее в их совмест­ном появлении. Обозначается произведе­ние событий как A · B (или A Ç B).

■ Разность событий A и B - событие A\B, происходящее то­гда и только тогда, ко­гда происходит A, но не происходит B.

На рис. 2.1 события A + B, A · B, A \ B, `A заштрихованы.

а) A+B б) A·B в) A\B г)`A

Рис. 2.1

▲ Теорема 2.1. Для любых событий A, B и C справедливы сле­дующие законы и свой­ства:

1. Коммутативности: A · B = B · A; A + B = B + A.

2. Ассоциативности: (A · B) · C = A · (B · C); (A + B) + C = A + (B + C).

3. Дистрибутивности: A · (B + C) = (A · B) + (A · C).

4. Идемпотентности: A · A = A; A + A = A.

5. Поглощения: A + W = W; A · W = A; A + Ø = A; A · Ø = Ø.

6. A +` A = W; ` A = W\ A.

7. A + (A · B) = A, A · (A + B) = A.

8. Де Моргана: (A · B) = `A + `B; (A + B) = `A · `B.

9. A \(B · C) = (A \ B)·(A \ C); A \(B + C) = (A \ B)+(A \ C) = (A \ B)\ C.

10. Двойного отрицания: ` = A.

11. A + `A = W; A · `A = Ø.

12. A \ B = A · `B.

Вероятность события A (P (A)) – отношение числа m благоприятст­вую­щих событию A исходов к общему числу n всех равновозможных попарно несовме­ст­ных элементарных исходов, образующих полную группу,т.е.

P (A) = . (2.1)

▲Теорема 2.2. Вероятность достоверного события равна еди­нице: P (W) = 1.

▲Теорема 2.3. Вероятность невозможного события равна нулю: P (Æ) = 0.

▲Теорема 2.4. Если A – случайное событие, то 0< P (A)<1.

▲Теорема 2.5. Если A – событие, то 0£ P (A)£1.

Пример 2.5. Испытание состоит в подбрасывании игральной кости, на каждой из граней которой проставлено число очков (от 1 до 6). Ка­кова вероятность того, что: а) выпадет 2 очка? б) выпадет не­четное число очков?

Решение. В данном испытании имеется 6 равновозможных случаев (выпаде­ние 1,2,3,4,5,6 очков, т.е. n =6), т.к. нет оснований предпола­гать, что появление какого-то определенного числа очков более веро­ятно (при условии, что кость симметрична). Поэтому вероятность вы­падения любого числа оч­ков, в том числе и 2, при одном (m =1) под­брасыва­нии равна 1/6.

Событию A, заключающемуся в появлении нечетного числа очков, благопри­ятствуют три случая (выпадение 1,3 и 5, т.е. m =3), поэтому по формуле (2.1) получаем P (A) = = = 0,5. Ответ: а) 1/6; б) 0,5.

Пример 2.6. В коробке из 12 кубиков находятся 5 красных кубиков. Найти вероятность того, что среди восьми взятых наудачу кубиков, ровно 2 красных.

Решение. Общее число возможных элементарных исходов испыта­ния равно числу способов, ко­торыми можно извлечь 8 кубиков из 12, т.е. числу сочетаний из 12 элементов по 6 (С₁₂⁸). Подсчитаем число исходов, благоприятствующих событию А – «Среди восьми взятых кубиков ровно 2 красных»: 2 красных кубика можно взять из 5 крас­ных кубиков С₅² способами; при этом остальные 8 – 2 = 6 ку­бика не должны быть красными; взять же 6 не красных кубика из 12 – 5 = 7 не красных кубиков можно С₇⁶ способами. Следовательно, число благо­приятствующих исходов равно С₅²·С₇⁶.

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благопри­ятствующих событию, к числу всех элементарных исходов: . Ответ: 14/99.