double arrow

Линейная зависимость векторов. Конечная совокупность нескольких векторов с одинаковым числом координат называется системой векторов

2

Конечная совокупность нескольких векторов с одинаковым числом координат называется системой векторов.

Пусть – система векторов в пространстве Rn,
l1, …, lm – любые действительные числа. Составим вектор

b = . (1.1)

Определение. Любой вектор вида (1.1) называется линейной комбинацией векторов ; числа l1, …, lm называются коэффициентами этой линейной комбинации.

Если , то говорят, что вектор b линейно выражается через векторы .

Пример. Составить линейную комбинацию векторов = (2; –1; 3),
= (–2; 3; 1) и = (1; 1; 1) с коэффициентами l1 = 3, l2 = –1, l3 = 1.

○ Линейной комбинацией векторов будет вектор

. ●

Определение. Система векторов называется линейно зависимой, если существует набор чисел l1, …, lm, одновременно не равных нулю, такой, что линейная комбинация векторов системы с коэффициентами l1, …, lm равна нулевому вектору.

Таким образом, система линейно зависима, если существует набор коэффициентов l1, …, lm , , такой, что

. (1.2)

Если же равенство (1.2) справедливо только в том случае, когда все коэффициенты l1, …, lm равны нулю, , то система векторов называется линейно независимой.

Примеры.

1. Рассмотрим систему векторов =(2;0;0), =(0;1;–1), =(0;–2;2).




Составим линейную комбинацию этих векторов.

=.

Эта линейная комбинация обращается в нулевой вектор при l1 = 0, . При этом l3 может принимать любые значения, в том числе и ненулевые. Например, набор коэффициентов l1 = 0, , , среди которых есть и отличные от нуля, обращает линейную комбинацию векторов в нулевой вектор. Значит, данная система векторов линейно зависима.

Замечание. Справедливость равенства не означает еще линейной независимости системы векторов, так как если l1 = 0, l2 = 0, …, lm = 0, то линейная комбинация системы векторов с такими коэффициентами равна нулевому вектору независимо от того, является ли эта система линейно зависимой или независимой. В частности, в приведенном выше примере при значениях коэффициентов линейная комбинация векторов обращается в нулевой вектор. Однако, как мы выяснили, эта система линейно зависима, так как существуют и ненулевые наборы коэффициентов, при которых данная линейная комбинация обращается в нулевой вектор: 0×a1+2×a2+1×a3 = 0.

2. Покажем, что векторы a1 = (2;0;0), a2 = (0;1;2), a3 = (0;0;–3) линейно независимы. Составим линейную комбинацию этих векторов и приравняем ее к нулевому вектору.

=, .

Последнее равенство верно только при , что и означает линейную независимость векторов .



2




Сейчас читают про: