Линейная зависимость векторов. Конечная совокупность нескольких векторов с одинаковым числом координат называется системой векторов

Конечная совокупность нескольких векторов с одинаковым числом координат называется системой векторов.

Пусть – система векторов в пространстве Rⁿ,
l₁, …, l_m – любые действительные числа. Составим вектор

b = . (1.1)

Определение. Любой вектор вида (1.1) называется линейной комбинацией векторов ; числа l₁, …, l_m называются коэффициентами этой линейной комбинации.

Если , то говорят, что вектор b линейно выражается через векторы .

Пример. Составить линейную комбинацию векторов = (2; –1; 3),
= (–2; 3; 1) и = (1; 1; 1) с коэффициентами l₁= 3, l₂= –1, l₃= 1.

○ Линейной комбинацией векторов будет вектор

. ●

Определение. Система векторов называется линейно зависимой, если существует набор чисел l₁, …, l_m, одновременно не равных нулю, такой, что линейная комбинация векторов системы с коэффициентами l₁, …, l_m равна нулевому вектору.

Таким образом, система линейно зависима, если существует набор коэффициентов l₁, …, l_m , , такой, что

. (1.2)

Если же равенство (1.2) справедливо только в том случае, когда все коэффициенты l₁, …, l_m равны нулю, , то система векторов называется линейно независимой.

Примеры.

1. Рассмотрим систему векторов =(2;0;0), =(0;1;–1), =(0;–2;2).

Составим линейную комбинацию этих векторов.

Эта линейная комбинация обращается в нулевой вектор при l₁= 0, . При этом l₃ может принимать любые значения, в том числе и ненулевые. Например, набор коэффициентов l₁= 0, , , среди которых есть и отличные от нуля, обращает линейную комбинацию векторов в нулевой вектор. Значит, данная система векторов линейно зависима.

Замечание. Справедливость равенства не означает еще линейной независимости системы векторов, так как если l₁= 0, l₂= 0, …, l_m = 0, то линейная комбинация системы векторов с такими коэффициентами равна нулевому вектору независимо от того, является ли эта система линейно зависимой или независимой. В частности, в приведенном выше примере при значениях коэффициентов линейная комбинация векторов обращается в нулевой вектор. Однако, как мы выяснили, эта система линейно зависима, так как существуют и ненулевые наборы коэффициентов, при которых данная линейная комбинация обращается в нулевой вектор: 0×a₁+2×a₂+1×a₃= 0.

2. Покажем, что векторы a₁= (2;0;0), a₂= (0;1;2), a₃= (0;0;–3) линейно независимы. Составим линейную комбинацию этих векторов и приравняем ее к нулевому вектору.

=, .