421
Конечная совокупность нескольких векторов с одинаковым числом координат называется системой векторов.
Пусть 
– система векторов в пространстве Rn,
l1, …, lm – любые действительные числа. Составим вектор
b = 
. (1.1)
Определение. Любой вектор вида (1.1) называется линейной комбинацией векторов ; числа l1, …, lm называются коэффициентами этой линейной комбинации.
Если 
, то говорят, что вектор b линейно выражается через векторы .
Пример. Составить линейную комбинацию векторов 
= (2; –1; 3),
= (–2; 3; 1) и 
= (1; 1; 1) с коэффициентами l1 = 3, l2 = –1, l3 = 1.
○ Линейной комбинацией векторов 
будет вектор
. ●
Определение. Система векторов называется линейно зависимой, если существует набор чисел l1, …, lm, одновременно не равных нулю, такой, что линейная комбинация векторов системы с коэффициентами l1, …, lm равна нулевому вектору.
Таким образом, система линейно зависима, если существует набор коэффициентов l1, …, lm , 
, такой, что
. (1.2)
Если же равенство (1.2) справедливо только в том случае, когда все коэффициенты l1, …, lm равны нулю, 
, то система векторов называется линейно независимой.
Примеры.
1. Рассмотрим систему векторов =(2;0;0), =(0;1;–1), =(0;–2;2).
Составим линейную комбинацию этих векторов.
=
.
Эта линейная комбинация обращается в нулевой вектор при l1 = 0, 
. При этом l3 может принимать любые значения, в том числе и ненулевые. Например, набор коэффициентов l1 = 0, 
, 
, среди которых есть и отличные от нуля, обращает линейную комбинацию векторов в нулевой вектор. Значит, данная система векторов 
линейно зависима.
Замечание. Справедливость равенства 
не означает еще линейной независимости системы векторов, так как если l1 = 0, l2 = 0, …, lm = 0, то линейная комбинация системы векторов с такими коэффициентами равна нулевому вектору независимо от того, является ли эта система линейно зависимой или независимой. В частности, в приведенном выше примере при значениях коэффициентов 
линейная комбинация векторов обращается в нулевой вектор. Однако, как мы выяснили, эта система линейно зависима, так как существуют и ненулевые наборы коэффициентов, при которых данная линейная комбинация обращается в нулевой вектор: 0×a1+2×a2+1×a3 = 0.
2. Покажем, что векторы a1 = (2;0;0), a2 = (0;1;2), a3 = (0;0;–3) линейно независимы. Составим линейную комбинацию этих векторов и приравняем ее к нулевому вектору.
=
, 
.
Последнее равенство верно только при , что и означает линейную независимость векторов .
