Свойства линейно зависимых систем

1°. Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой.

□ 1. Пусть система, состоящая из одного вектора a ₁, линейно зависима. Составим линейную комбинацию:

(1.3)

l₁ ¹ 0 в силу линейной зависимости системы. По определению операции произведения вектора на действительное число векторное равенство (1.3) означает, что каждая координата вектора a ₁ равна нулю, то есть вектор a ₁ – нулевой вектор, a ₁ = 0.

2. Пусть теперь a ₁ = 0. Составим линейную комбинацию: l₁ a ₁ = 0. Это равенство выполняется при любом значении l₁, в том числе и при l₁ ¹ 0, а это означает, что система, состоящая из одного вектора a ₁ линейно зависима. ■

2°. Система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

□ Пусть система векторов a ₁,…, a _k,…, a _m содержит нулевой вектор, например, a _k =0. Составим линейную комбинацию:

l₁ a ₁+…+l _k a _k + …+ l _m a _m = 0. (1.4)

Положим l₁=0,…, l _{k –1}=0, l _k ¹0, l _{k +1}=0,…, l _m =0. Тогда равенство (1.4) справедливо и при этом , значит, система a ₁,…, a _k,…, a _m линейно зависима. ■

3°. Система векторов, состоящая более чем из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда один вектор является линейной комбинацией остальных векторов системы.

□ 1. Пусть система векторов a ₁,…, a _k,…, a _m линейно зависима. Тогда справедливо равенство: , причем . Пусть l _k ¹ 0. Поделим обе части равенства на l _k и выразим вектор a _k:

a _k = – a ₁ – …– a _m, то есть вектор a _k является линейной комбинацией остальных векторов системы.

2. Пусть вектор a _k является линейной комбинацией остальных векторов системы, то есть a _k =l₁ a ₁ +…+l _m a _m. Тогда

– a _k +l₁ a ₁ +…+l _m a _m = 0,

при этом l _k = –1 ¹ 0; значит, система a ₁,…, a _k,…, a _m линейно зависима.■

4°. Если часть системы векторов линейно зависима, то линейно зависима и вся система.

5°. Если система векторов линейно независима, то линейно независима любая ее подсистема.

Свойства 4° и 5° докажите самостоятельно.

6°. Если система a ₁,…, a _m линейно независима, а система
a ₁, …, a _m, a _{m +1} – линейно зависима, то вектор a _{m +1} является линейной комбинацией остальных векторов системы a ₁,…, a _m: a _{m +1} =.

□ Так как система a ₁,…, a _m, a _{m +1} – линейно зависима, то справедливы равенства:

l₁ a ₁+…+l _m a _m +l _{m +1} a _{m +1}= 0 (1.5)

при условии, что .

Если l _{m +1} = 0, то из равенства (1.5) следует, что l₁ a ₁+…+l _m a _m = 0, причем в силу линейной независимости системы a ₁,…, a _m последнее равенство справедливо только если все коэффициенты равны нулю, т.е. . Но тогда , что противоречит условию, следовательно, l _{m +1}¹0. Тогда из равенства (1.5) имеем:

–l _{m +1} a _{m +1}=l₁ a ₁+…+l _m a _m,

или ,

где , что и требовалось доказать. ■

Рассмотрим некоторые частные случаи систем векторов, в которых вопрос о линейной зависимости решается просто.

1. Система, состоящая из двух векторов, линейно зависима тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны.

□ 1. Пусть система, состоящая из векторов a ₁ и a ₂, линейно зависима. Если хотя бы один из векторов системы нулевой, то векторы коллинеарны. Пусть теперь оба вектора ненулевые. Так как система
a ₁, a ₂ линейно зависима, в равенстве l₁ a ₁+l₂ a ₂ = 0 хотя бы один из коэффициентов l₁, l₂ не равен нулю. Пусть l₁ ¹ 0; тогда a ₁ = a ₂, или a ₁ = k ×a ₂, где k =– некоторое число, значит, векторы a ₁ и a ₂ коллинеарны.

2. Пусть теперь векторы a ₁ и a ₂ коллинеарны. Если хотя бы один из этих векторов нулевой, то система a ₁, a ₂ линейно зависима (по свойству 2°). Пусть оба вектора ненулевые. Так как a ₁ и a ₂ коллинеарны, то найдется число k такое, что a ₁ = k× a ₂. Тогда
a ₁– k× a ₂ = 0, значит, система векторов a ₁, a ₂ линейно зависима (l₁ ¹ 0). ■

Трехмерные векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости или лежат в одной плоскости.

2. Система, состоящая из трех ненулевых трехмерных векторов a ₁, a ₂, a ₃, линейно зависима тогда и только тогда, когда векторы компланарны.

□ 1. Пусть система a ₁, a ₂, a ₃ линейно зависима. Тогда по свойству 3° линейной зависимости векторов один из векторов системы является линейной комбинацией остальных, например, a ₁=k₂ a ₂+k₃ a ₃. Геометрически это соотношение означает, что вектор a ₁ является диагональю параллелограмма, построенного на векторах k₂ a ₂ и k₃ a ₃, т.е. векторы a ₁, a ₂, a ₃ лежат в одной плоскости (компланарны).

2. Пусть теперь векторы a ₁, a ₂, a ₃ лежат в одной плоскости. Возможны два случая: 1) хотя бы два из трех векторов a ₁, a ₂, a ₃ коллинеарны, т.е. лежат на одной прямой (или на параллельных прямых); 2) векторы a ₁, a ₂, a ₃ попарно не коллинеарны, т.е. никакие два из них не лежат на одной прямой.

В первом случае пусть, например, векторы a ₁ и a ₂ коллинеарны. Тогда по доказанному выше система a ₁, a ₂ линейно зависима, откуда по свойству 4° линейной зависимости следует, что система a ₁, a ₂, a ₃ линейно зависима.

Во втором случае a ₁ и a ₂ не лежат на одной прямой. Проведем через конец вектора a ₃ прямые, параллельные векторам a ₁ и a ₂ (рис.1.1). Тогда вектор a ₃ является диагональю параллелограмма, построенного на векторах a ₁¢ и a ₂¢, т.е. a ₃= a ₁¢ + a ₂¢. Так как векторы a ₁ и a ₁¢, а также a ₂ и a ₂¢ коллинеарны, то a ₁¢= k₁ a ₁, a ₂¢=k₂ a ₂, значит, a ₃= k₁ a ₁ + k₂ a ₂ и система a ₁, a ₂, a ₃ линейно зависима.

Рис. 1.1

Итак, доказано, что в каждом из рассмотренных случаев система векторов a ₁, a ₂, a ₃ линейно зависима. ■

Рассмотрим систему векторов

a ₁=(),

a ₂=(), (1.6)

…….…………..………,

a _р =().

Здесь , если и , . Системы векторов вида (1.6) будем называть диагональными. Очевидно, для диагональной системы всегда , т.е. число векторов не превышает числа координат в каждом отдельном векторе.

3. Диагональная система векторов линейно независима.

□ Составим линейную комбинацию векторов системы (1.6):

b = l₁ a ₁+…+l _р a _р.

Выясним, в каком случае вектор b равен 0, т.е. когда l₁ a ₁+…+l _р a _р = 0. Последнее векторное равенство равносильно n равенствам координат:

(1.7)

Так как , то из первого уравнения имеем . Тогда из второго уравнения получим () и т.д. Подставляя в -ое уравнение полученные выше значения при условии получаем . Таким образом, равенство l₁ a ₁+…+l _р a _р =0 возможно лишь при условии , что и означает линейную независимость системы (1.6). ■

Из доказанного следует, что в пространстве Rⁿсуществует линейно независимая система, содержащая ровно n векторов. Примером такой системы может служить система, состоящая из векторов

е ₁=(1;0;…;0), е ₂=(0;1;…0),…, =(0;0;…;1), (1.8)

которая является частным случаем диагональной системы (1.6).

Естественно, возникает вопрос: можно ли в пространстве Rⁿ построить систему, состоящую более чем из n линейно независимых векторов? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема, которую мы принимаем без доказательства.

Теорема 1.1. В пространстве Rⁿ любая система, содержащая m векторов, линейно зависима при m > n.

Итак, максимальное число содержащихся в пространстве Rⁿ линейно независимых векторов равно n и любой (n+1) вектор этого пространства линейно выражается через указанные n векторов.

Рассмотрим систему векторов a ₁, a ₂,…, a _k.

Определение. Базисом системы векторов a ₁, a ₂,…, a _k называется частичный набор векторов этой системы (подсистема), удовлетворяющий двум условиям:

1) векторы этого набора линейно независимы;

2) любой вектор системы a ₁, a ₂,…, a _k линейно выражается через векторы этого набора.

Векторы, входящие в базис, называются базисными векторами.

Рангом системы векторов называется число векторов ее базиса. Если ранг системы векторов меньше числа k ее векторов, то система может иметь несколько базисов. Справедлива теорема, утверждающая, что все базисы данной системы векторов содержат одно и то же число векторов.

Пример. В системе векторов a ₁=(–1;1;0), a ₂=(2;0;1), a ₃=(–3;3;0) найти все возможные базисы.

○ Вектор a ₃ коллинеарен вектору a ₁, значит, система векторов a ₁, a ₂, a ₃ линейно зависима и ее ранг не превосходит двух. Так как векторы a ₁ и a ₂ неколлинеарны, а значит линейно независимы, то их можно взять в качестве базисных векторов. За базисные векторы можно также принять неколлинеарные векторы a ₂ и a ₃. Итак, в данной системе векторов существует два базиса: (a ₁, a ₂) и (a ₂, a ₃). ●

Рассмотрим простейшие свойства ранга системы векторов.

1°. Ранг системы векторов не превосходит числа векторов системы.

2°. Если система векторов линейно зависима, то ранг системы меньше числа векторов системы.

3°. Если система векторов линейно независима, то ранг системы равен числу векторов системы.

Понятие базиса можно распространить на векторное пространство Rⁿ, которое является бесконечной совокупностью n-мерных векторов.

Определение. Система векторов называется базисом пространства Rⁿ, если:

1) эта система векторов линейно независима;

2) любой вектор из Rⁿлинейно выражается через векторы данной системы.

В пространстве Rⁿсуществует бесчисленное множество базисов. При этом справедлива следующая теорема:

Теорема 1.2. Линейно независимая система векторов в Rⁿ является базисом тогда и только тогда, когда число векторов этой системы
равно n.

Число n определяет размерность пространства.

Примеры.

1. Базисом пространства R¹ является любой ненулевой вектор a ₁, лежащий на оси Ох, так как: 1) система, состоящая из одного ненулевого вектора, линейно независима; 2) любой другой вектор этого пространства по свойству операции умножения вектора на число линейно выражается через этот вектор: a ₂ = k a ₁.

2. Базис пространства R² образуют любые два неколлинеарных вектора, так как они линейно независимы.

3. Базис пространства R³ образуют любые три свободные некомпланарные векторы, так как они линейно независимы.

4. Диагональная система векторов (1.6) при р = n является базисом пространства Rⁿ, так как состоит из n линейно независимых векторов.

Теорема 1.3. Любой вектор пространства Rⁿможно представить в виде линейной комбинации базисных векторов, притом единственным образом.

□ Пусть векторы a ₁, a ₂,…, a _n образуют базис пространства Rⁿ. Тогда система a ₁, a ₂,…, a _n, b линейно зависима и по свойству 6° вектор b является линейной комбинацией остальных векторов системы:
b =. То, что такое представление единственно, докажем методом от противного.

Предположим, что существуют два различных разложения вектора b по базису a ₁, a ₂,…, a _n: b = и b =. Рассмотрим разность –, или 0 =. Так как система a ₁, a ₂,…, a _n образует базис пространства Rⁿи, значит, линейно независима, то из последнего равенства следует

, ,…, , или , ,…, . Но это противоречит тому, что разложения и b =различны. ■

В силу доказанной теоремы любой вектор в пространстве Rⁿоднозначно определяется коэффициентами разложения вектора
по данному базису, т.е. упорядоченной совокупностью действительных чисел (). Таким образом, коэффициенты разложения вектора по данному базису являются координатами этого вектора в данном базисе. Из доказанной теоремы следует, что равные векторы имеют равные координаты.

При переходе к другому базису координаты вектора, вообще говоря, меняются. Пусть, например, координаты вектора b = (1;–3) определены в базисе е ₁=(1;0), е ₂=(0;1), т.е. b = е ₁–3 е ₂. Векторы a ₁=(2;0), a ₂=(–1;3) также образуют базис пространства R². Координатами вектора b в базисе a ₁, a ₂ являются коэффициенты разложения этого вектора по базисным векторам.

b =l₁ a ₁+l₂ a ₂=l₁+l₂=.

откуда , . Тогда и координаты вектора b в базисе a ₁, a ₂ будут (0;–1).

Если не указан базис пространства Rⁿ, в котором задан вектор, мы будем полагать, что вектор задан в базисе

,, …, .

Пример. Найти разложение вектора b = 2 е ₁– е ₂+3 е ₃ по векторам
a ₁ = , a ₂ = и a ₃ = .

○ Векторы a ₁, a ₂, a ₃ образуют диагональную систему векторов, значит, они линейно независимы. Число векторов системы n = 3 равно размерности пространства. Следовательно, по теореме 2.2 векторы
a ₁, a ₂, a ₃ образуют базис пространства R³, и вектор b может быть разложен по этим векторам единственным образом. Составим линейную комбинацию

b = l₁ a ₁+ l₂ a ₂ + l₃ a ₃.

Это векторное равенство можно записать в координатной форме:

=l₁+l₂+ l₃,

или системой уравнений:

Из первого уравнения получим l₁ = –1, тогда из второго уравнения l₂ = 0, и из третьего – l₃ = 5.

Таким образом, вектор b имеет координаты (–1; 0; 5) в
базисе a ₁, a ₂, a ₃ или b = – a ₁ +5 a ₃. ●

Для нахождения координат вектора в другом базисе пространства Rⁿ приходится решать систему n линейных уравнений относительно коэффициентов разложения вектора в этом базисе. В общем случае преобразованием координат вектора при переходе к другому базису мы будем заниматься в п. 4.