Декартова система координат на плоскости

Определение. Координатами точки М на плоскости в декартовой системе координат (О, e ₁, e ₂) называются координаты ее радиус-вектора в базисе e ₁, e ₂.

Таким образом, чтобы найти координаты точки М, нужно разложить вектор по базису e ₁, e ₂:

,

тогда числа х и у будут координатами точки М в выбранной системе координат. В силу рассмотренной выше теоремы о разложении вектора по базису такое разложение единственно; в выбранном базисе положение точки однозначно определяется парой чисел (х, у) – координатами точки. Координату х называют абсциссой точки М, координату у – ординатой точки М.

Определение. Координатами вектора a на плоскости в декартовой системе координат (О, e ₁, e ₂) называют координаты этого вектора в базисе e ₁, e ₂.

Другими словами, чтобы найти координаты вектора a, нужно разложить его по базису e ₁, e ₂:

a = e ₁+ e _2;

тогда коэффициенты и будут координатами вектора a в декартовой системе координат (О, e ₁, e ₂).

Среди декартовых систем координат простейшей является прямоугольная декартова система координат.

Определение. Декартова система координат (О, e ₁, e ₂) на плоскости называется прямоугольной, если e ₁ и e ₂ – взаимно перпендикулярные единичные векторы.

Базисные векторы e ₁, e ₂ прямоугольной декартовой системы координат на плоскости представляют собой ортонормированный базис евклидова пространства R².

Две взаимно перпендикулярные прямые, проходящие через О и параллельные соответственно векторам e ₁ и e ₂, называют осями координат. Первую из них обычно называют осью абсцисс и обозначают Ох, вторую – осью ординат и обозначают Оу. Единичные векторы оси Ох и оси Оу, равные базисным векторам e ₁и e ₂, соответственно, обычно обозначают . Декартову прямоугольную систему координат на плоскости будем обозначать Оху.

Определим операции над векторами, заданными координатами в декартовой прямоугольной системе координат, в соответствии с правилами, определенными для векторов векторного пространства.

Пусть даны точки и . Найдем координаты вектора . Имеем =, =, или =, =. Вычитая из второго равенства первое, получаем

=–=–()=.

Таким образом, координаты вектора =().

Произведением вектора =() на число k будет вектор k=.

Скалярное произведение двух векторов в декартовой прямоугольной системе координат можно определить по формуле (1.19) или по формуле (1.14). Формула (1.10) дает возможность вычислить угол между векторами.

Расстояние между точками А и В на плоскости можно интерпретировать как длину вектора , поэтому

АВ===.

Пример. Даны точки А(1,–3) и В(–2,1). Вычислить угол, который вектор составляет с положительным направлением оси Оу.

○ Положительное направление оси Оу определяется единичным вектором этой оси . Найдем координаты и длину вектора :

=; АВ==.

Скалярное произведение векторов и найдем по формуле (1.19): (,)= –3×0+4×1=4. Теперь по формуле (1.10) находим угол между векторами и : ; . ●