2014-02-12
1290
Пусть на плоскости задана декартова система координат.
Кривая на плоскости - это геометрическое место точек 
, удовлетворяющих уравнению
 | (3.10) |
где 
- функция двух переменных. Ясно, что далеко не каждая функция будет задавать линию. Так, например, уравнению
не удовлетворяет ни одна точка плоскости, а уравнению
удовлетворяет только одна точка 
.
Для аналитического представления кривой во многих случаях удобнее задавать кривую параметрическими уравнениями, используя вспомогательную переменную (параметр) 
:
 | (3.11) |
где 
и 
- непрерывные функции на заданном интервале изменения параметра. Если функция 
такова, что можно выразить через 
, то от параметрического представления кривой легко перейти к уравнению (3.10):
Систему уравнений (3.11) можно записать в векторном виде:
Отрезок прямой представляет собой частный случай кривой, причем параметрическое представление его может иметь вид
или
Окружность радиуса 
с центром в точке 
может быть представлена параметрическими уравнениями
Перейдем к трехмерному пространству с заданной декартовой системой координат.
Поверхность в пространстве - это геометрическое место точек 
, удовлетворяющих уравнению вида
 | (3.12) |
Так же как и в случае кривой на плоскости, не всякая функция описывает какую-либо поверхность. Например, уравнению
не удовлетворяет ни одна точка пространства. Поверхность также может быть задана в параметрическом виде, но в отличие от кривой для этого требуются две вспомогательные переменные (параметры):
 | (3.13) |
Например, сфера радиуса с центром в точке 
может быть задана уравнением
либо же параметрическими уравнениями
Кривую в пространстве можно описать как пересечение двух поверхностей, т.е. с помощью системы уравнений
 | (3.14) |
или параметрическими уравнениями вида
 | (3.15) |
