Ортогональные проекции

Математический аппарат

Для выполнения проективных преобразований будем использовать однородные координаты и матрицы преобразований, рассмотренные ранее в лекции 4. Проекция выполняется в системе координат наблюдателя.

Сначала рассмотрим математическое описание параллельных проекций как более простых. Случай, когда картинная плоскость перпендикулярна оси и задается уравнением (т.е. ортографическая проекция), фактически уже рассматривался в лекции 4, где был приведен вид матриц проекции на координатные плоскости.

Случай аксонометрической проекции сводится к последовательности преобразований, подобно тому как осуществлялся поворот в пространстве относительно произвольной оси. Пусть плоскость задается единичным вектором нормали и расстоянием от начала координат . Каноническое уравнение плоскости, таким образом, имеет вид

Вектор, направленный по нормали от начала координат до пересечения с плоскостью, есть

Координаты вектора единичной нормали являются ее направляющими косинусами.

Проецирование в пространстве однородных координат осуществляется следующей последовательностью шагов.

Сдвиг на вектор с помощью матрицы

Поворот, совмещающий направление нормали с направлением оси . Как было показано в лекции 4, этот поворот можно реализовать в виде двух поворотов: первый (относительно оси ) переводит нормаль в плоскость , а затем - поворот относительно оси до совмещения нормали с осью . Соответствующую матрицу вращения, являющуюся произведением двух матриц, обозначим .
Проекция на плоскость с помощью матрицы