Понятие математической модели

Моделирование – исследование какого-либо объекта и процессов, протекающих в нем путем построения их модели.

Необходимость моделирования:

· объект есть, но недоступен для исследования;

· объект может быть разрушен в результате исследования, что не допустимо;

· проектирование объекта.

Виды моделирования:

Физическое – использует физическую модель или макет, исследуемые физическими методами.

Математическое – использует математическую модель.

Комбинированное – математическая модель исследуется физическими методами.

Физическое моделирование – это когда модель воспроизводит изучаемый процесс с сохранением его физической природы.

Можно выделить три уровня моделирования: метауровень (поведение объекта в целом), макроуровень (моделирование отдельных устройств) и микроуровень (моделирование элементов, из которых состоит устройство).

Требования к моделям:

1) Адекватность – соответствие модели объекту.

2) Универсальность

3) Эффективность

Математическое моделирование – это метод исследования явлений реальных объектов на основе замены их соответствующими математическими моделями и последующим расчетом с помощью проблемно-ориентированных вычислительных алгоритмов.

Полной математической модели, которая не имела бы границ применимости, не существует, поэтому на практике используется упрощенная математическая модель, имеющая пределы применения.

Математические знаковые модели характерны тем, что параметры реального объекта и отношения между ними представлены символами: семантическими (словами), схематическими, математическими, логическими.

Аналитическими моделями будем называть математические модели, представленные с помощью формул, неравенств, уравнений, в том числе дифференциальных, и интегральных уравнений и их комбинаций.

Имитационная модель — логико-математическое описание объекта, которое может быть использовано для экспериментирования на компьютере в целях проектирования, анализа и оценки функционирования объекта.

Центральным понятием является Система – совокупность взаимосвязанных элементов, образующих единое целое.

Система обладает тремя основными свойствами:

1) Определенность, т.е. система может воздействовать на внешний мир через множество выходных данных (X), а внешний мир воздействует на систему через множество входных данных (F).

В системе существуют внутренние связи, описываемые внутренними параметрами. Если фиксируемому значению входных данных F, соответствует единственное значение выходной величины, то такая система называется определенной или функциональной.

2) Структурированность, т.е. любая система состоит из подсистем, каждая из которых взаимодействует по тем же принципам, что и сама система.

3) Целостность, т.е. каждая система выполняет определенную цель.

Все величины, определяющие систему, разделяются на два вида:

· Параметры – это заданные величины, которые определяют свойства системы.

· Переменные – неизвестные величины, которые определяют взаимосвязи внутри системы.

Существуют три задачи в математическом моделировании:

1) Прямая (анализ) – это вычисление выходных переменных по заданным входным и внутренним параметрам.

2) Обратная (синтез) – это определение выходных и внутренних параметров по заданным выходным.

3) Задача идентификации – это определение внутренних взаимосвязей системы по известным входным и выходным данным.