Экстраполяция динамических рядов

С точки зрения математики данный метод прогнозирования сводится к определению значения, которое будет принимать переменная величина в момент времени , если известен ряд ее значений за предыдущие периоды (моменты) времени и т.д.

Экстраполяция – это распространение тенденций, выявленных в прошлом, на будущий период. Данный метод реализует пассивный прогноз. Кроме того, необходимо учитывать основные условия допустимости и правомерности экстраполяции, в числе которых выделяют следующие:

· достаточная длительность ретроспективного периода;

· исследуемый процесс должен быть достаточно устойчивым к внешним воздействиям;

· не ожидается сильных внешних воздействий на исследуемый процесс.

Функционирование социально-экономических систем, за очень редким исключением, не удовлетворяет этим предположениям. Поэтому ограничена область практического применения экстраполяции начальными этапами разработки методик прогнозирования и горизонтом прогнозирования (не далее краткосрочного прогноза).

Одной из разновидностью данного метода является экстраполяция на основе уравнений тренда.

Если n – это ретроспективный период (период сглаживания, по данным которого построено уравнение тренда), а l – горизонт прогнозирования, то прогнозное значение может быть определено по функции соответствующего тренда (например, для линейной функции как )

Абсолютная ошибка прогноза по сравнению с фактическим значением может быть определена следующим образом:

.

Относительная ошибка прогноза рассчитывается по формуле

.

В случае построения интервального прогноза определяется величина доверительного интервала с границами

,

где – точечный прогноз;

– табличное значение t-критерия Стьюдента при числе степеней свободы и доверительной вероятности ;

– средняя квадратичная ошибка аппроксимации по уравнению тренда (п.4.4.2).

Если фактическое значение не выходит за границы доверительного интервала, то можно говорить о качественном прогнозировании.

В систему математических методов экстраполяции входят также приемы, основанные на средних характеристиках динамических рядов (п.4.2.), которые могут использоваться только лишь при условии неизменности этих величин.

В частности, экстраполяция на основе среднего значения ряда за ретроспективу предполагает расчет прогнозного значения по следующей формуле:

,

где – средний уровень ряда (выражения (4.9) – (4.11)).

Границы доверительного интервала (при небольшом числе наблюдений) рекомендуется определять следующим образом:

,

где – средняя квадратическая ошибка среднего уровня ряда, определяемая по формуле

.

В свою очередь, среднее квадратичное отклонение S для выборки равно

.

Интервал учитывает неопределенность, связанную с оценкой среднего уровня ряда, и его применение увеличивает степень надежности прогноза, но при этом не учитывается горизонт прогнозирования. Для учета вариации уровней ряда относительно среднего значения в будущем (по аналогии с ретроспективой) при идентификации доверительного интервала общая дисперсия, связанная с колебаниями выборочной средней и с варьированием индивидуальных значений вокруг средней, должна быть определена как .

Экстраполяция по среднему абсолютному приросту может применяться только лишь к линейным трендам. Причем, должно выполняться неравенство

,

где – остаточная дисперсия, необъясняемая экстраполяцией по среднему абсолютному приросту;

– сумма всех цепных абсолютных приростов (базисный абсолютный прирост – выражения (4.1)).

Прогнозируемое значение определяется по соотношению вида

,

где – уровень ряда, принятый за базу экстраполяции (обычно последний);

l – период прогноза;

– средний абсолютный прирост (формула (4.7)).

Экстраполяция по среднему темпу роста - (формула (4.8)) используется в том случае, если ряд изменяется по показательному или экспоненциальному тренду. Прогнозное значение определяется по формуле

.

Параметр имеет тот же смыл, что и в предыдущей формуле.

Основной недостаток методов экстраполяции связан с тем, что качество прогноза оценивается только после того, как произошло исследуемое событие, т.е. апостериорно.