Циркуляция векторного поля и её вычисление

Определение 5.3. Циркуляцией Ц векторного поля а = а(М) называется линейный интеграл, взятый вдоль замкнутой ориентированной кривой L. Таким образом, по определению

где символ означает интеграл по замкнутой кривой L.

Если векторное поле а = а(М) задано в координатой форме

a = P(x,y,z)i + Q(x,y,z)j + R(x,y,z)k

то циркуляция векторного поля будет равна

За положительное направление обхода замкнутой кривой L будем считать направление, при котором область, ограниченная этой кривой, будет оставаться слева.

Пример 5.5. Вычислить циркуляцию векторного поля вдоль эллипса L: .

Решение. По определению циркуляции имеем

(5.4)

Параметрические уравнения данного эллипса имеют вид (рис. 5.3)

(5.5)

отсюда

(5.6)

Подставляя (5.5) и (5.6) в (5.4), получим

так как

аналогично находим, что

Пример 5.6. Вычислить циркуляцию векторного поля

вдоль линии L, получаемой пересечением конуса x²+ y²= (z-1)² с координатными плоскостями (р 11.4)

Решение. Линия L состоит из двух отрезков ВС и СА, расположенных на координатных плоскостях YOZ и XOZ соответственно и окружности . Поэтому циркуляция данного векторного поля будет равна

1. На отрезке ВС имеем

следовательно,

2. на отрезке СА имеем

следовательно

3. На дуге окружности имеем z = 0, dz = 0, и значит

Искомая циркуляция векторного поля равна нулю.

Пример 5.7. Вычислить циркуляцию векторного поля a = xyi + yzj + xzk, если

Решение. Имеем

Линия L есть эллипс, получающийся в результате сечения цилиндра x²+ y²= 1 плоскостью x + y + z = 1. Найдем параметрические уравнения этой линии. Проекция любой точки линии на плоскость ХОУ находится на окружности x²+ y²= 1. Отсюда получаем x = cost, y = sint. Но

Рис. 5.3 Рис. 5.4

эллипс лежит на плоскости x + y + z = 1, откуда z = 1 - x - y или z = 1 - cost - sint. Следовательно, параметрические уравнения линии L: