Замена переменного. Таблица неопределенных интегралов

Таблица неопределенных интегралов

Свойства неопределенного интеграла

Определения

Часть 1. Интегральное исчисление

Интегральное исчисление и функции многих переменных

1.1. Первообразная, неопределенный интеграл

Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенных интегралов. Основные методы интегрирования. Замена переменного и интегрирование по частям.

Интегрирование – обратная операция к дифференцированию.

Пусть X – связное множество, т.е. множество, которое вместе с любыми двумя своими точками содержит и отрезок, их соединяющий. Функция F (x)называется первообразной для функции f (x)на связном множестве X, если F¢ (x) = f (x).

Примеры:

1) f (x)=0 ,F (x) =C (Const), X= (-¥,¥),

2) f (x) =a (Const) ,F (x) =a x+C, X= (-¥,¥),

3) f (x) = cos x,F (x) = +C, X= (-¥,¥),

4) f (x) = 1/ x,F (x) = ln x+C, X= (0,¥),

5) f (x)=1/ x,F (x)=ln |x|+C, X= (-¥, 0).

Замечание. Если F – первообразная для f на связном множестве X, то G =F +C также является первообразной для f, и наоборот, если G, F- первообразные для f, то G =F +C (Следствие из теоремы Лагранжа).

Пример. Функции F = ln |x| и G =ln |x| + sign x имеют общую производную, равную f (x) = 1/ x на множестве X= (-¥,0)È(0,¥), в то время, как их разность =sign x и, таким образом, не являются константой на X. Из этого примера слелует, что условие: «X – связное» – существенно. Говоря о первообразной на каком-то множестве, всегда будет предполагаться, что это множество связное.

Определение. Совокупность всех первообразных для функции f на связном множестве X (если они существуют), называется неопределенным интегралом функции f и обозначается

См. слайд «Неопределенный интеграл».

Неопределенный интеграл

Таким образом, если F – первообразная для f на X, то

= F(x)+C намножестве X.

Замечание. В обозначении неопределенного интеграла буква x несет смысловую нагрузку переменной для функции F (x) +C. Так, если x= j(t), то можно написать

F (j(t)) +C =.

Другими словами, интеграл справа понимается, как суперпозиция функций и x= j(t).

1), в частности,.

2)=f+C.

3), с точностью до аддитивной постоянной.

4), с точностью до аддитивной постоянной.

Все эти свойства проверяются непосредственно по определению. Например, второе свойство. Производная функции равна, поэтому является первообразной для функции. Любая другая первообразная отличается от нее на константу. Таким образом,. В четвертом свойстве необходимо добавить следующее замечание. Равенство следует понимать так. Для любой первообразной из множества функций найдутся первообразные из множеств, такие, что. И наоборот, для любой пары функций из множеств, их сумма будет принадлежать множеству.

Из таблицы производных можно получить таблицу интегралов.

1)+ С, a ¹ - 1.

2) = ln |x| + С, X= { x >0} или X= { x <0 }, но не на X= (-¥,0)È(0,¥).

3) + C, a ¹1, =e^x+C.

4) = - cos x + C, = sin x + C.

5),,.

6) = arctg x + C, = arctg + C.

7) = tg x + C, =- ctg x + C.

8) + C.

9) + C.

10) x dx = ch x + C, x dx = sh x + C.

11) = th x + C, = - cth x + C.

Если F (x)– первообразная для f (x)на X т.е. = F (x) +C, функция x= j(t) дифференцируема на T и определена суперпозиция = F (j(t)) +C, тогда функция F(t) =f (j(t))j¢(t) имеет первообразную, равную F (j(t)). Таким образом,