Площадь криволинейной трапеции

Свойства площади

Теорема (Монотонность). Если D ₁, D ₂ квадрируемы и D ₁Ì D ₂ , то m D ₁£m D ₂ (см. слайд « Свойство монотонности площади »).

Свойство монотонности площади

Доказательство. Любой P_i для D ₁является вписанным и для D ₂, поэтому m D ₁=sup m P_i будет £ mD ₂ (для области D ₂ площадь находится как верхняя грань площадей вписанных многоугольников по большему множеству).

Теорема (Аддитивность). Если квадрируемая область D разбита кусочно-гладкой кривой на две подобласти D ₁ ,D ₂, то они квадрируемы и

m D = m D ₁ + m D ₂.

Доказательство (только для ломаной, разбивающей область на две части). Обозначения см. слайд «Обозначения».

Обозначения

Выполнены следующие соотношения

P_i ¢¢È P_i ¢= P_i, P_e ¢¢È P_e ¢= P_e (2.7)

По заданному eвыберем P_i, P_e так, что m P_e - m P_i < e. Из (2.7) следует, что

m P_i ¢¢ + m P_i ¢=m P_i, m P_e ¢¢+m P_e ¢=m P_e. Вычитая из второго равенства первое получим, ( m P_e ¢¢ - m P_i ¢¢) + (m P_e ¢ - m P_i ¢) = m P_e - m P_i < e. Откуда получаем неравенства (m P_e ¢¢ - m P_i ¢¢) < e, (m P_e ¢ - m P_i ¢) < e. Таким образом, квадрируемость D ₁ ,D ₂доказана. Для доказательства равенства m D = m D ₁ + m D ₂ отметим, что любой вписанный в D многоугольник P_i разбивается секущей ломаной на два вписанных многоугольника P_i ¢¢È P_i ¢ = P_i для D ₁ ,D ₂. Поэтому m D= sup m P_i£ m D ₁ +m D ₂. Точно также любой описанный многоугольник P_e распадается на два описанных P_e ¢¢È P_e ¢= P_e. Поэтому будет выполнено обратное неравенство

m D= inf m P_e ³ m D ₁ +m D ₂.

Откуда и следует требуемое равенство.

В качестве еще одного свойства площади отметим ее независимость от выбора системы координат.

Теорема (Второй критерий квадрируемости). Пусть D некоторая область. Если для

"e>0 $ кадрируемые, то D квадрируема (см. слайд « Второй критерий квадрируемости »).

Второй критерий квадрируемости

В теореме сформулировано только достаточное условие квадрируемости, необходимость этого условия очевидна.

Доказательство. Возьмем. Для него найдутся.В свою очередь для существует вписанныйс такой площадью, что. Аналогично, для найдется описанныйтакой что. Тогда

Так же как и для случая многоугольников, можно сформулировать

Следствие. Для того, чтобы ограниченная область D была квадрируемой необходимо и достаточно, чтобы существовали две последовательности квадрируемых областей такие, что (см. слайд «Критерий квадрируемости в терминах границы»).

Критерий квадрируемости в терминах границы

Пусть f (x)³0и непрерывна на отрезке [ a,b ]. Область расположенная между графиком функции f (x), осью x и вертикалями x = a, x = b называется криволинейной трапецией (см. слайд «Площадь криволинейной трапеции»).

Площадь криволинейной трапеции

Теорема. Криволинейная трапеция D квадрируема и ее площадь

.

Доказательство. Пусть e>0. В силу интегрируемости f (x)для этого e существует разбиение отрезка [ a,b ], D={ a=x ₀ <x ₁ <…<x_n } такое, что S (f, D) – s (f,D) < e. Прямоугольники, соответствующие нижней сумме Дарбу образуют вписанный в область D многоугольник P_i. Прямоугольники, соответствующие верхней сумме Дарбу образуют описанный многоугольник P_e для области D (Рис. 2.16), s (f, D) = m P_i, S (f,D)= m P_e.

Рис. 2.16

Отсюда следует квадрируемость области D. Для доказательства равенства рассмотрим последовательность разбиений отрезка с равноотстоящими узлами. Соответствующие вписанные и описанные многоугольники обозначим. Тогда, как уже упоминалось ранее, между суммами Дарбу и площадями многоугольников существует следующая связь. Далее и. Эти равенства позволяют утверждать (следствие из критерия интегрируемости), что. Таким образом,.

Замечание. Если f (x)£ 0 и непрерывна на отрезке [ a,b ], то. Для области

D, заключенной между двумя непрерывными кривыми (графиками функций) y=f ₁(x),

y=f ₂(x), f ₁(x)£ f ₂(x) на [ a,b ], (рис2.17).

Рис. 2.17

В более общих случаях для вычисления площади следует разбить область на фигуры указанного вида.