Площадь поверхности вращения

В этом пункте мы определим площадь поверхности вращения, считая, что известно понятие площади боковой поверхности кругового конуса.

Рассмотрим развертку боковой поверхности конуса (рис. 2.33, L – образующая конуса, а R – радиус направляющей окружности (радиус основания)).

Рис. 2.33

Площадь этой развертки будет во столько раз меньше площади круга радиуса L (), во сколько раз длина окружности меньше длины окружности. Поэтому площадь боковой поверхности конуса равна

На основании этой формулы получается формула для боковой поверхности усеченного конуса (рис. 2.34)

.

Рис. 2.34

Рассмотрим кривую g, являющуюся графиком непрерывной функции f (x)³0, определенной на [ a,b ]. Пусть S поверхность, полученная вращением gвокруг оси ox. Для заданного разбиения D={ a=x ₀ <x ₁ <…<x_n=b } обозначим через L (x)ломаную с узлами A_k = (x_k, y_k)= (x_k, f (x_k)), вписанную в кривую g.Через l_k обозначим длину хорды A_k, A_{k+ 1} (рис. 2.35).

Рис. 2.35

При вращении ломаной L (x)получится поверхность, составленная из боковых поверхностей усеченных конусов, каждая из которых будет равна произведению длины окружности, описанной средней линией на длину хорды. Общая поверхность будет равна

P (f, D)=2p(2.11)

Определение. Если существует предел сумм (2.11) (не зависящий от выбора D) при l(D)®0, то поверхность вращения называется квадрируемой и этот предел называется ее площадью.

Определение на кванторах

$ S "e>0$d>0"D,l(D)<d:| P (f, D) - S|< e

Теорема. Если f (x) непрерывно-дифференцируема на [ a,b ], то указанная поверхность квадрируема и ее площадь равна

.

Доказательство. Для длины хорды имеем

(2.12)

Тогда

S-P (f, D)=2p - 2p +

+ 2p - =

= 2p - 2p +

+p + p.

Второе слагаемое (вычитаемое) в этом выражении 2pявляется интегральной суммой для интеграла, где x _k выбраны согласно (2.12). Поэтому при l(D)®0 разность 2p -2pстремится к нулю в силу существования интеграла. Каждое из слагаемых

p, p

будет стремиться к нулю в силу равномерной непрерывности функции f (x)на отрезке [ a,b ] и ограниченности функции на отрезке [ a,b ] (первая теорема Вейерштрасса).

Замечание 1. Если непрерывно дифференцируемая кривая задана параметрически

,

и вращение происходит вокруг оси ox, то поверхность квадрируема и ее площадь вычисляется по формуле

.

Доказательство. Вначале кривая разбивается на участки строгой монотонности функции x (t)(предполагаем, что таких участков конечное число). Пусть это будет разбиение D={a =t ₀ <t ₁ <…<t_n= b}.Положим для краткости x_k=x (t_k), рис. 2.36. На каждом участке (в силу строгой монотонности) для x (t) существует обратная функция t=t (x), x Î[ x_k,x_{k+ 1}] (либо x Î[ x_{k+ 1}, x_k ]), k= 0, …,n- 1. Таким образом, имеется n однозначных ветвей: y=f (x) =y (t (x)), x Î[ x_k,x_{k+ 1}] (либо x Î[ x_{k+ 1}, x_k ]) ,k= 0,…, n- 1. Площадь поверхности, полученной вращением k -ой ветви равна (для случая x_k < x_{k+ 1}) (или), после замены переменного x=x (t)этот интеграл будет равен

Рис. 2.36

Либо (рис. 2.37)

Рис. 2.37

Здесь использовано правило дифференцирования сложной фукцции и обратной функции f¢ (x) = (y (t (x))¢=, dx=. Складывая полученные интегралы, получим требуемое соотношение

.

Замечание 2. Если в параметрическом задании кривой в качестве параметра взять длину дуги, то после замены переменного получим выражение для площади поверхности вращения следующего вида

, l – длина всей кривой.

Пример. Площадь поверхности тора (рис. 2.38).

Рис. 2.38