Вычисление площадей областей, граница которых задана в полярных координатах

Используя вписанные и описанные многоугольники можно доказать квадрируемость кругового сектора радиуса r, заключенного между двумя лучами (с углами a, b) и вычислить его площадь, равную (рис. 2.18).

Рис. 2.18

Рассмотрим область, заключенную между лучами a, bи непрерывной кривой, заданной в полярных координатах r=r (j) (рис. 2.19).

Рис. 2.19

Теорема. Криволинейный сектор D, определяемый лучами углов a, b (0≤a<b≤2π) и непрерывной кривой r=r (j) квадрируем и его площадь вычисляется по формуле (слайд «Площадь области»)

m D=. (2.8)

Площадь области

Доказательство. Интеграл в (2.8) существует, поэтому для заданного eсуществует разбиение D={a=j₀<j₁<…<j _n =b} отрезка такое, что S (f, D) – s (f,D) < e, где f (j) =. Нижняя сумма Дарбу представляет собой сумму величин вида, где m_k – радиус некоторого кругового сектора, вписанного в соответствующий криволинейный сектор D_k, а верхняя сумма Дарбу представляет собой сумму величин вида, где M_k – радиус некоторого кругового сектора, содержащего D_k (слайд «Суммы Дарбу», «Суммы Дарбу, полярные координаты»).

Суммы Дарбу

Суммы Дарбу, полярные координаты

Таким образом, для любого e можно указать две квадрируемые области, одна из которых содержится внутри исходной области, а вторая охватывает эту область. Каждая из этих областей составлена из круговых секторов и имеет площадь равную s (f, D), S (f, D),соответственно. Квадрируемость следует из второго критерия квадрируемости. Выберем последовательность разбиений с равноотстоящими узлами. Соответствующие вписанные и описанные области, состоящие из наборов круговых секторов, обозначим. Тогда между суммами Дарбу и площадями этих множеств существует следующая связь. Далее и. Эти равенства позволяют утверждать (следствие из критерия интегрируемости), что

.

Таким образом,

.

Примеры.

5.1. Вычислить площадь области, содержащейся между первым и вторым витком спирали Архимеда, как показано на рисунке 2.20, слайд «Спираль»

Рис. 2.20

Спираль

Площадь обозначенной на рисунке области будет равна

m D=

5.2. Вычислить площадь, ограниченную астроидой x ^2/3+ y ^2/3= a ^2/3.(рис. 2.21, слайд «Астроида»)

Рис. 2.21

Астроида

Воспользуемся полярными координатами. Подставляя эти выражения в исходное уравнение астроиды, получим уравнение астроиды в полярных координатах. Площадь, ограниченная кривой будет равна

В параграфе 3 главы 1 был вычислен интеграл

.

Поэтому. Интеграл с бесконечными пределами будет рассматриваться в разделе «Несобственные интегралы».

5.3.Вычислить площадь, ограниченную кривой (трилистник, рис. 2.22, слайд «Трилистник»).

Рис. 2.22

Трилистник

Первый лепесток расположен в диапазоне, поэтому площадь трех лепестков будет равна

.

5.4. Вычислить площадь, ограниченную кривой.

, поэтому область, где расположена кривая, ограничена диапазоном. Таким образом, площадь, ограниченная кривой будет равна

5.5.Вычислить площадь, ограниченную кривой (лемниската Бернули, рис. 2.23, слайд «Лемниската Бернули»).

Воспользуемся полярными координатами. Подставляя эти выражения в уравнение лемнискаты, получим, или.

Рис. 2.23

Лемниската Бернули

.

2.4.5. Вычисление площади области, граница которой задана в виде φ = φ(r)

Позже будет выведена еще одна формула для вычисления площади области, граница которой задана параметрически. Именно, если область D ограничена замкнутой кусочно-гладкой кривой γ, имеющей параметризацию Кроме того, при проходе t от α до β область остается слева (слайд «Обход границы области»),

Обход границы области

то площадь этой области будет вычислятся по формуле:

. (2.9)

Пусть функция φ(r) непрерывна и монотонна на отрезке [ r ₁, r ₂], 0≤ r ₁< r ₂. Рассмотрим область, лежащую между лучами φ₁₌φ(r ₁), φ₂₌φ(r ₂) и кривой γ: φ=φ(r) (см. рис. 2.24).

Рис. 2.24

Граница этой области состоит из трех кривых γ₁, γ, γ₂. Кривая γ₁ может быть параметризована в виде

Аналогично, для кривой γ₂ (обратите внимание на направление обхода)

И, наконец, для кривой γ имеем:

Для γ₁ подинтегральное выражение в (2.9) будет равно

.

И тогда

Аналогично, для γ₂

.

И тогда

Наконец, для участка γ получим

.

Таким образом, окончательно, получим формулу

. (2.10)

Пример. Найти площадь области ограниченную линией, и осью Ox.

Функция φ=4 r - r ³ (график показан на рис. 2.25, слайд «Площадь для поляных координат») имеет два интервала монотонности

Рис. 2.25

Площадь для полярных координат

Максимум функции равен В нашем случае. Площадь искомой области

.

Пример. Найти площадь области ограниченную линией φ= r – sin r, и осью Ox. График фунции в декартовых координатах показан на рисунке 2.26, слайд «Площадь в полярных координатах»

Рис. 2.26

Площадь в полярных координатах

Площадь области будет равна

2.5. Вычисление объемов и площадей боковых поверхностей тел вращения

Объемы и площади поверхностей вращения. Теоремы Гюльдена.