Объем тела вращения

Объем

Понятие объема вводится аналогично тому, как это делалось для площади, поэтому похожие моменты в этом параграфе будут излагаться конспективно. Известным считается понятие объема элементарной области, т.е. для области, ограниченной многогранником (сводится к объему тетраэдра, не обязательно правильного). В дальнейшем эту область так же будем называть многогранником. Объединение конечного числа непересекающихся многогранников также будет называться многогранником (рис. 2.27).

Рис. 2.27

Далее рассматривается класс пространственных областей, которые ограничены (содержаться в некотором шаре) и для которых существует хотя бы один вписанный многогранник. Вписанные многогранники будем обозначать P_i описанные P_e. Объем обозначается m P. Объем обладает свойством монотонности, таким образом, всегда m P_i £ m P_e.

Нижний объем: m D = sup m P_i, где точная грань берется по всевозможным вписанным многогранникам.

Верхний объем: = inf m P_e, где точная грань берется по всевозможным описанным многогранникам.

Аналогично тому, как это делалось площадей, доказывается неравенство m D £.

Определение. Область называется кубируемой, если совпадают нижний и верхний объемы = m D. Эта общая величина называется объемом и обозначается m D.

Теорема (Критерий кубируемости). Для того, чтобы область D была кубируемой необходимо и достаточно, чтобы "e>0$ P_e, P_i: m P_e - m P_i < e.

Теорема (Второй критерий кубируемости). Для того, чтобы область D была кубируемой необходимо и достаточно, чтобы "e>0$ кубируемые области D_e, D_i (не обязательно многогранники) такие, что m D_e - m D_i <e.

Для объема справедливы свойства монотонности, аддитивности.

Пример. Цилиндр является кубируемым телом, если в его основании лежит квадрируемая фигура и его объем равен Sh (рис. 2.28).

Рис. 2.28

Это следует из критерия кубируемости. В качестве вписанных и описанных многогранников выбираются призмы с той же образующей, что и у цилиндра, в основании которых лежат вписанные и описанные многоугольники для фигуры, лежащей в основании цилиндра.

В частности кубируемым будет «ступенчатое тело» (рис. 2.29), если в основании каждой составляющей лежит квадрируемая фигура.

Рис. 2.29

Теорема. Если f (x)³ 0 непрерывна на [ a,b ], то тело, граница которого, полученна вращением графика функции вокруг оси x (рис. 2.30, слайд «Тело вращения»), кубируемо и его объем равен

Рис. 2.30

Тело вращения

Доказательство. Для заданногоeрассмотрим достаточно мелкое разбиение D={ a=x ₀ <x ₁ <…<x_n=b }идва ступенчатых тела на основании сумм Дарбу исходной функции, составленных из круговых цилиндров высотой x_{k+ 1} - x_k и радиусов m_k=, M_k= (Рис. 2.31).Объем этих тел будут равны s (F, D), S (F, D), где F (x)=p f ²(x).

Рис. 2.31

Одна из этих кубируемых областей будет вписана в тело вращения, а другая описана. Разность объемов можно сделать сколь угодно малой, что следует из интегрируемости функции F (x).

Справедлива более общая теорема (без доказательства).

Теорема. Если область D проектируется на отрезок [ a,b ] оси x и любое сечение этой области плоскостью перпендикулярной оси x квадрируемо (рис. 2.32), а площадь этого сечения S (x) является интегрируемой функцией, то исходная область кубируема и ее объем равен

m D=

Рис. 2.32