2014-02-12
970
Появление знака «минус» в правой части уравнения обусловлено ориентацией вектора нормали к контрольной поверхности. Так как нормаль внешняя к контрольной поверхности, то «втеканию» флюида в контрольный объем соответствует увеличение массы и положительное значение производной по времени в левой части равенства (2.1), а скалярное произведение 
под интегралом в левой части равенства отрицательно. Для выравнивания знаков необходимо ставить минус. Аналогично получается при «вытекании» флюида.
Уравнение (2.1) представляет собой интегральную формулировку закона сохранения массы в пористой среде.
При установившемся движении производная по времени равна нулю, и из (2.1) следует
Поэтому если в качестве контрольного объема взять трубку тока для скорости фильтрации, то получим
, (2.2)
где Sα(α= 1, 2) – площади двух сечений трубки тока (на входе и на выходе).
При выводе равенства (2.2) было использовано, что скалярное произведение вектора скорости фильтрации на вектор нормали равно 
, где ωn– проекция вектора скорости на нормаль (например, для сечения 2 она положительна, для 1 - отрицательна).
|
|
|
Для несжимаемой жидкости 
, поэтому
Если скорости в сечениях равны, то 
.
От интегральной формулировки закона сохранения массы (2.1) можно перейти к дифференциальной форме. Для этого, во-первых, так как контрольный объем фиксирован в пространстве и его положение не зависит от времени, вносят оператор 
под знак интеграла, и, во-вторых, с помощью теоремы Гаусса-Остроградского поверхностный интеграл преобразуют в объемный. В результате преобразований получают
(2.3)
Дивергенция вектора ¯а - 
Из условия, что равенство (2.3) выполняется для любого «физического» объема, следует, что выражение под знаком интеграла равно нулю.
(2.4)
