Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины

Определение 1. Законом распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины называют перечень возможных значений этой величины (т.е. пар чисел (,) и их вероятностей ).

Замечание 1. Обычно закон распределения дискретной двумерной случайной величины задают в виде таблицы. Первая строка таблицы содержит все возможные значения составляющей У, а первый столбец – все возможные значения составляющей Х. В клетке, стоящей на пересечении -го столбца и -ой строки указана вероятность того, что двумерная случайная величина примет значение .

У Х			…		…
			…		…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…
			…		…

Возможно также задание закона распределения двумерной случайной величины, когда первая строка таблицы содержит все возможные значения составляющей Х, а первый столбец – все возможные значения составляющей У. Соответствующие значения вероятностей «транспонируются» относительно приведённой таблицы.

Замечание 2. Так как события (,) образуют полную группу попарно несовместных событий, то сема вероятностей, помещённых во всех клетках таблицы, равна единице: .

Замечание 3. Зная закон распределения двумерной дискретной случайной величины, можно найти законы распределения каждой из составляющих. Действительно, распределение одномерной случайной величины Х можно получить, вычислив вероятность события () как сумму вероятностей несовместных событий: (т.е. нужно просуммировать вероятности в каждой строке ()).

Аналогично определяется распределение одномерной случайной величины У: (т.е. нужно просуммировать вероятности в каждом столбце ()).

Если зафиксировать значение аргумента У (), то при этом случайная величина Х может принять одно из своих возможных значений (). Вероятности этих значений при , вообще говоря, не будут равны вероятностям .

Определение 2. Условным распределением составляющей Х при условии называется совокупность условных вероятностей (), вычисленных в предположении, что событие уже наступило (фиксировано при любых значениях Х).

Вероятности этого распределения являются условными вероятностями события , найденными в предположении, что событие произошло. Из определения условной вероятности .

Аналогично условное распределение случайной величины У при условии задаётся с помощью условных вероятностей:

.

Замечание 4. Иногда для условных распределений используются обозначения и .

Замечание 5. Сумма вероятностей условного распределения равна 1.

Доказательство. Так как при фиксированном , то . Аналогично доказывается, что при фиксированном .

Пример. Закон распределения дискретной двумерной случайной величины задан таблицей:

У Х	=1	=2
=-1	0,10	0,06
=0	0,30	0,18
=1	0,20	0,16

Найти: 1) законы распределения составляющих двумерной случайной величины, 2) условные законы распределения случайной величины Х при условии и случайной величины У при условии ; 3) вероятность .

Решение. 1) Закон распределения Х: просуммировать элементы в строках, составить таблицу. Закон распределения У: просуммировать элементы в столбцах, составить таблицу.

2) Закон распределения Х при условии : вероятности, стоящие во 2-м столбце разделить на их сумму. Составить таблицу. Закон распределения У при условии : вероятности, стоящие в 3-ей строке, разделить на их сумму. Составить таблицу.

3) Для нахождения вероятности складываем вероятности тех пар , для которых .