2014-02-12
527
Полипоточные Системы Массового Обслуживания.
Предположим теперь, что в СМО с неограниченной очередью, о которой шла речь в Лекции 10, имеется не один, а несколько входных потоков (все они пуассоновские и каждый имеет свой параметр 
, так что всего потоков - N) и все потоки имеют экспоненциальное обслуживание, причем коэффициент 
для 
го потока есть число 
. Попадая в СМО, заявки становятся в очередь на обслуживание.
Можно доказать, что в такой ситуации суммарный входной поток в СМО тоже будет пуассоновским с параметром 
Можно также доказать, что функция распределения времени обслуживания равна:
.
В теории массового обслуживания имеется следующий фундаментальный результат, называемой формулой Поллачека-Хинчина (в введенных обозначениях):
Среднее время ожидания в очереди в СМО описанного только что типа есть число
где 
, причем предполагается, что выполнено условие: 
.
Неравенство называется условием стационарности. Непосредственное интегрирование (по частям) показывает, что
|
|
|
;
полагают 
, так что 
и 
. Кроме того,
.
Полагают 
, так что формула Поллачека-Хинчина приобретает следующий краткий вид:
.
Легко заметить отсюда, что среднее число заявок i-го потока, ожидающих в очереди, есть величина
;
суммарное число заявок из всех потоков, ожидающих в очереди, равно, следовательно,
.
