Лекция 9. Характеристики СМО типа (m,n)

Характеристики СМО типа (m,n).

Основной характеристикой СМО типа (m, n) являются вероятности того, что в момент времени t СМО находится в состоянии . Для функций можно построить систему дифференциальных уравнений, допускающую явное решение. В основе соответствующих построений лежат два обстоятельства, на которые мы укажем, но сами построения оставим за пределами данного курса лекций.

Первое обстоятельство. Положим ; тогда, в соответствии с правилом умножения матриц и формулой полной вероятности, окажется выполненным равенство

где, как и было ранее, символ P обозначает матрицу переходных вероятностей.

Второе обстоятельство. Матрицу можно подробно описать в процессе, когда . Если в этом описании обозначать через любую бесконечно малую при , то вот результат соответствующего описания:

Если теперь перейти в этих соотношениях к пределу при , то получатся дифференциальные уравнения относительно искомых функций ; вот вид соответствующей системы уравнений:

(9.1)

где A - матрица из констант.

Сформулируем теперь знаменитую теорему о финальных вероятностях, на которой основаны дальнейшие сведения о СМО типа (m, n):

Все функции имеют предел при . Все производные при .

Положим ; числа называются финальными или стационарными вероятностями.

Если в (9.1) перейти к пределу при , то, с учетом теоремы о финальных вероятностях, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно финальных вероятностей:

С учетом всего сказанного выше эту последнюю алгебраическую систему можно записать явно и, так же в явном виде, - решить. Отметим, что при этом решении надо будет воспользоваться тем, что по смыслу . Приведем лишь результат решения, обозначив для удобства через :

Приведем теперь основные характеристики рассматриваемых СМО.

Вероятность того, что в СМО занято обслуживанием ровно k устройств равна , .

Вероятность отказа заявке есть число .

Число занятых устройств в СМО есть, очевидно, величина случайная. Ее математическое ожидание - это среднее число занятых устройств. Оно может быть вычислено и вот результат:

Если - среднее число простаивающих устройств, то, очевидно,

Часто используются коэффициенты простоя и занятости (эти формулы и представляют собой определения):

Относительная пропускная способность СМО - это дробь , в числителе которой указывается количество обслуженных заявок, а в знаменателе - общее число заявок, поступавших в СМО. Можно заметить, что

Абсолютная пропускная способность A - это среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени:

Среднее число заявок, ожидающих в очереди - величина- может быть вычислено как соответствующее математическое ожидание; вот результат:

Среднее число заявок, поступающих в СМО, - это число

Среднее время W ожидания заявки в очереди также представляет собой величину, которую рассчитывают как математическое ожидание. Соответствующий результат оказывается таким:

И, наконец, последняя характеристика: среднее время пребывания заявки в СМО - число V:

Лекция 10

Эрланговские СМО и СМО с неограниченной очередью, их основные характеристики.

СМО без ожидания или эрланговские СМО - это такие СМО, в которых нет места для очереди; если узел обслуживания занят в момент прихода очередной заявки, то заявка теряется. Предполагается, что в эрланговских СМО входной поток заявок обязательно пуассоновский, а время обслуживания - экспоненциальное.

Легко заметить, что эрланговские СМО - это СМО типа (m,n) при . Поэтому все рассуждения о СМО типа (m,n) можно адаптировать к этому частному случаю. В этом числе, формулы Эрланга - формулы, выражающие вероятности - можно

получить из формул для финальных вероятностей СМО типа (m,n) при . Вот результат (по-прежнему ):

В частности, вероятность отказа равна , среднее число занятых устройств равно , относительная пропускная способность , абсолютная пропускная способность .

Рассмотрим второй «крайний» случай СМО типа (m,n), когда . Это означает, что очередь может быть как угодно большой. Вероятности имеют здесь смысл при любом целом неотрицательном k. Выражение для можно получить предельным переходом при из выражения для в случае (m,n). Если , то все требования находятся на обслуживании, а очередь пуста; соответствующая вероятность:

при на обслуживании находятся n заявок и k-n находятся в очереди; соответствующая вероятность:

Для вычисления воспользуемся тем фактом, что, как и положено вероятностям полной группы событий, . Отсюда -

;

вероятность будет отлична от нуля только при одном условии: геометрическая прогрессия, стоящая в скобках в последнем соотношении, сходится. Это возможно только при условии

Это неравенство называется условием стационарности СМО с ожиданием (не путать с общим понятием стационарности СМО!). Если , то это означает, что СМО не справляется с обслуживанием и очередь всё

возрастает.

Если же условие стационарности выполнено, то

По смыслу легко заметить, что в рассматриваемых СМО вероятность отказа равна 0, относительная пропускная способность равна 1, абсолютная пропускная способность равна .