Лекция №2 Понятие вектора. Действия над векторами

Определение: Направленный отрезок называется вектором, А- начало вектора, В- конец.

Определение: Вектор у которого начало и конец совпадает, называется нулевым

Длина вектора обозначается:

Определение: Если =1, то вектор называется единичным.

Определение: Вектора и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Определение: Вектора и называются равными, если они коллинеарные, одинаково направленные и их длины равны.

Проекции x, y, z вектора на оси координат называют координатами (x, y, z)

Если А(x₁, y₁, z₁) и В(x₂, y₂, z₂), то (x₂-x₁; y₂-y₁; z₂-z₁)

Если (x, y, z), то

Обозначим через α, β, γ – углы между и осями координат, получим:

cos α, cos β, cos γ – называют направляющими косинусами вектора

Действия над векторами.

Определение Линейными операциями над векторами называются операции сложения и вычитания векторов, умножение вектора на число.

Определение Суммой векторов и называется вектор , который идет из начала вектора в конец вектора , при условии, что вектор приложен к концу вектора

Правило треугольника

Правило параллелограмма

Определение Разностью векторов - называется вектор, который в сумме с векторам дает вектор

Определение Произведением λназывается вектор, который коллинеарен и имеет длину равную и направление такое же как вектор , если λ>0 и противоположное если λ<0

Т1 Если (x₁, y₁, z₁) (x₂, y₂, z₂), то + (x₁+x₂, y₁+y₂, z₁+z₂)

Т2 Если (x, y, z), то λ(λx, λy, λz)

Признак коллинеарности векторов.

(x₁, y₁, z₁) (x₂, y₂, z₂), то

Пусть - единичные векторы =1, каждый из них направлен на оси в положительную сторону, то - базис

Любой вектор может быть разложен по базису , т.е.