2014-02-12
2891
I Векторное произведение
Определение Векторы 
,
и 
называются коллинеарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Определение Тройка векторов называется упорядоченной, если указано какой из них считается первым, какой – вторым, какой – третий
(,,)
Определение Упорядоченная тройка векторов неколлинеарных называется правой, если после приведения их к общему началу, из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден совершающимся против часовой стрелки. В противном случае тройка векторов называется левой.
Определение Векторным произведением вектора на вектор называется вектор х, который определяется тремя условиями:
- длина вектора 
, где j - угол между векторами и
- вектор хперпендикулярен каждому из векторов и
- векторы , и хобразуют правую тройку векторов.
Свойства векторного произведения.
- х=0, если и - коллинеарные.
- Длина векторного произведения неколлинеарных векторов и равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах
|
|
|
- х= - х
- (l)х=l(х)
- (+)х= х+х
Выражение векторного произведения через координаты.
Т Е сли векторы и заданы своими координатами (x1, y1, z1) (x2, y2, z2), то векторное произведение определяется формулой:
х=((y1z2-y2z1); (z1x2-z2x1); (x1y2-x2y1))
Эту формулу можно записать с помощью определителей:
II Смешанное произведение трех векторов.
Определение Смешанным произведением трех векторов ,и называется число, равное скалярному произведению вектора на векторное произведение векторов и , т.е. . (х)
Т1 Смешанное произведение . (х) равное объему параллелепипеда, построенного на векторах ,и , взятому со знаком +, если тройка ,и - правая, и со знаком -, если левая.
Следствие . (х)=(х).
Т2 Если векторы ,и заданы своими координатами (x1, y1, z1) (x2, y2, z2) (x3, y3, z3), то
. (х)=
=
=x1(y2z3-y3z2)+y1(z2y3-x3y2)+z1(x2y3-x3y2)
