Двойной интеграл

1.1. Основные понятия и определения

Пусть в замкнутой области D плоскости Оху задана непрерывная

функция z = f (x, y). Разобьем область D на n “элементарных

областей” D_i, i = 1,2,..., n, площади которых обозначим через D S_i,

а диаметры (наибольшее расстояние между точками области) –

через d _i (рис. 1). Рис.1.

В каждой области D_i выберем произвольную точку M _i (x _i, y _i),

умножим значение f (x _i, y _i) функции в этой точке на D S_i и составим сумму всех таких произведений:

f (x ₁, y ₁)Δ S ₁ + f (x ₂, y ₂)Δ S ₂ + … + f (x_n, y_n)Δ S_n = Δ S_i. (1)

Эта сумма называется интегральной суммой функции f (x, y) в области D.

Пусть d = d_i. Если при d → 0 существует предел интегральных сумм (1), не зависящий ни от способа разбиения области D на элементарные области, ни от выбора точек

M _i (x _i, y _i) в элементарных областях, то он называется двойным интегралом от функции

f (x, y) по области D и обозначается символом . Т.о., по определению,

= . (2)

Из приведенного выше определения двойного интеграла следует, что

т.к. предел интегральных сумм не зависит от способа разбиения области

D на элементарные области, то ее можно разбивать и на участки прямыми,

параллельными координатным осям (рис.2). При этом D S_i = D х_i D у_i.

Поэтому равенство (2) можно записать в виде Рис.2.

= . (3)

Функция f (x, y) при этом называется интегрируемой в области D (f (x, у) – подынтегральная функция; f (x, y) dx dy или f (x, y) dS – подынтегральное выражение;

dS или dx dy – дифференциал ( или элемент) площади; область D – область интегрирования; точка М (х, у) – переменная точка интегрирования) .