Вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух
определенных интегралов или, говоря иначе, сведением его к повторному.
1.4.1. Случай прямоугольника
Пусть область D – замкнутый прямоугольник со сторонами,
параллельными осям координат: П = { a £ x £ b, c £ y £ d }.
Пусть функция f (x, y) ³ 0 непрерывна в П. Тогда, как это
было показано в п.1.2., двойной интеграл от этой функции по
области П выражает объем цилиндрического тела, ограниченного
сверху поверхностью z = f (x, y).
Рассмотрим это тело. Проведем плоскость y = y 0, c £ y 0 £ d,
перпендикулярную оси Оу (рис. 5). Эта плоскость рассечет Рис.5.
цилиндрическое тело по криволинейной трапеции АВВ 1 А 1,
ограниченной сверху плоской линией z, описываемой уравнениями z = f (x, y 0), у = y 0.
Площадь трапеции АВВ 1 А 1, выражается интегралом
, (1)
где интегрирование ведется по х, а y 0 = const. Величина интеграла (1) зависит от выбора значения y 0. Положим
S (y) = . (2)
Выражение (2) дает площадь поперечного сечения цилиндрического тела как функции от у. Поэтому объем цилиндрического тела можно вычислить по формуле V = .
|
|
С другой стороны, этот объем выражается двойным интегралом от функции f (x, y) по прямоугольнику П. Значит = . Заменяя S (y) его выражением (2), получим =. Последнее соотношение обычно записывают в виде = . (3)
Объем цилиндрического тела можно найти также по площадям сечений плоскостями х = х 0. Это приводит к формуле = . (4)
Каждое из выражений, стоящих в правых частях формул (3) и (4), содержит две последовательные операции обыкновенного интегрирования функции f (x, y). Они называются повторными интегралами от функции f (x, y) по области П.
Если f (x, y) непрерывна в замкнутом прямоугольнике П, то переход к повторным интегралам всегда возможен и = , (5)
т.е. значения повторных интегралов от непрерывной функции f (x, y)
не зависят от порядка интегрирования.
Пример 1. Найти интеграл от функции z = x 2 + y 2 по области
П = {0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.
Имеем (рис. 6): dy = =
= == .
Рис.6.
1.4.2. Случай произвольной области
Пусть область интегрирования – произвольная огра-
ниченная замкнутая область D на плоскости Оху, удо-
влетворяющая следующим условиям: любая прямая,
параллельная оси Оу, пересекает границу этой области
не более чем в двух точках или по целому отрезку
(рис. 7а).
Заключим область D внутри прямоугольника Рис.7.
П = { a £ x £ b, c £ y £ d } так, как показано на рис. 7б.
Точками А и С граница области D разбивается на две кривые АВС и АЕС. Каждая из
этих кривых пересекается с произвольной прямой, параллельной оси Оу, не более чем в одной
точке. Поэтому их уравнения можно записать в виде:
|
|
. (6)
Пусть f (x, y) ³ 0 – некоторая функция, непрерывна в D. Рассечем цилиндрическое
тело, ограниченное сверху поверхностью z = f (x, y), а снизу - областью D, плоскостью
x = const, a < x < b.
В сечении получим криволинейную трапецию PQMN (рис. 8), пло-
щадь которой S (x) выражается обыкновенным интегралом от функ-
ции f (x, y), рассматриваемой как функция одной переменной у.
При этом у изменяяется от ординаты j 1(х) точки Р до ординаты j 2(х)
точки Q: точка Р есть точка “входа” прямой x = const (в плоскости
Оху) в область D, а Q – точка ее “выхода” из этой области. Т.к.
уравнение кривой АВС есть у = j 1(х), а кривой АЕС – у = j 2(х), то
эти ординаты при взятом х соответственно равны j 1(х) и j 2(х).
Следовательно, интеграл = S (x) (7) Рис.8.
дает выражение для площади плоского сечения цилиндрического тела как функции положения секущей плоскости x = const. Объем всего тела будет равен интегралу от этого выражения по х в промежутке изменения х (a ≤ x ≤ b). Т.о.
= . (8)
В частности для площади S области D получим
S = = . (9)
Предположим теперь, что каждая прямая y = const, c < y < d, пересекает
границу области D не более чем в двух точках P и Q, абсциссы которых
равны y 1(у) и y 2(у) соответственно (или по целому отрезку) (рис. 9).
Рассуждая аналогично тому, как это было проделано выше, придем к формуле
Рис. 9.
= , (10)
также сводящейся к вычислению двойного интеграла к повторному.
Пример 2. Вычислить двойной интеграл от функции f (x, y) = xy по области D,
ограниченной линиями у =и у = х 2 (рис.10).
Рассмотрим область D: параболы у = и у = х 2 пересекаются в точках О (0, 0)
и М (1, 1): => x 1 = 0, x 2 = 1, т.е. а = 0, b = 1. Кроме того, у 1 = х 2, у 2 = . Рис. 10.
Следовательно, == == .
Пример 3. Вычислить интеграл от функции f (x, y) = 2 x – y + 3 по области D,
ограниченной линиями у = х и у = х 2 (рис.11).
Прямая у = х и парабола у = х 2 пересекаются в точках О (0, 0) и М (1, 1): =>
x 1 = 0, x 2 = 1, т.е. а = 0, b = 1 => область D = {0 ≤ x ≤ 1, х 2 ≤ y ≤ x } => (два решения) Рис. 11.
а) = = == = .
б) = = == .
Пример 4. Вычислить по области D, заключенной между двумя квадратами с центром в начале
координат и сторонами, параллельными осям координат, если сторона внутреннего квадрата равна 2, а
внешнего 4 (рис.12).
Имеем: = – , где Q – больший квадрат, Р –
меньший квадрат.
= = = = .
= =.
= – = e 4 – 2 + e –4 – e 2 + 2 – e–2 = 2ch4 – 2ch2. Рис.12.
Пример 5. Вычислить по области D, ограниченной линиями
у = х 2, у = 0, х + у – 2 = 0 (рис.13).
а) = = =
= =
= –+ +–– = . Рис.13.
б) = + =+ = dx + =+ = += .