Студопедия
МОТОСАФАРИ и МОТОТУРЫ АФРИКА !!!


Авиадвигателестроения Административное право Административное право Беларусии Алгебра Архитектура Безопасность жизнедеятельности Введение в профессию «психолог» Введение в экономику культуры Высшая математика Геология Геоморфология Гидрология и гидрометрии Гидросистемы и гидромашины История Украины Культурология Культурология Логика Маркетинг Машиностроение Медицинская психология Менеджмент Металлы и сварка Методы и средства измерений электрических величин Мировая экономика Начертательная геометрия Основы экономической теории Охрана труда Пожарная тактика Процессы и структуры мышления Профессиональная психология Психология Психология менеджмента Современные фундаментальные и прикладные исследования в приборостроении Социальная психология Социально-философская проблематика Социология Статистика Теоретические основы информатики Теория автоматического регулирования Теория вероятности Транспортное право Туроператор Уголовное право Уголовный процесс Управление современным производством Физика Физические явления Философия Холодильные установки Экология Экономика История экономики Основы экономики Экономика предприятия Экономическая история Экономическая теория Экономический анализ Развитие экономики ЕС Чрезвычайные ситуации ВКонтакте Одноклассники Мой Мир Фейсбук LiveJournal Instagram

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах




Вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух

определенных интегралов или, говоря иначе, сведением его к повторному.

1.4.1. Случай прямоугольника

Пусть область D – замкнутый прямоугольник со сторонами,

параллельными осям координат: П = {a £ x £ b, c £ y £ d}.

Пусть функция f ( x, y ) ³ 0 непрерывна в П. Тогда, как это

было показано в п.1.2., двойной интеграл от этой функции по

области П выражает объем цилиндрического тела, ограниченного

сверху поверхностью z = f ( x, y ).

Рассмотрим это тело. Проведем плоскость y = y0, c £ y0 £ d,

перпендикулярную оси Оу (рис. 5). Эта плоскость рассечет Рис.5.

цилиндрическое тело по криволинейной трапеции АВВ1А1,

ограниченной сверху плоской линией z, описываемой уравнениями z = f ( x, y0 ), у = y0 .

Площадь трапеции АВВ1А1, выражается интегралом

, (1)

где интегрирование ведется по х, а y0 = const. Величина интеграла (1) зависит от выбора значения y0 . Положим

S(y) = . (2)

Выражение (2) дает площадь поперечного сечения цилиндрического тела как функции от у. Поэтому объем цилиндрического тела можно вычислить по формуле V = .

С другой стороны, этот объем выражается двойным интегралом от функции f ( x, y ) по прямоугольнику П. Значит = . Заменяя S(y) его выражением (2), получим =. Последнее соотношение обычно записывают в виде = . (3)

Объем цилиндрического тела можно найти также по площадям сечений плоскостями х = х0. Это приводит к формуле = . (4)

Каждое из выражений, стоящих в правых частях формул (3) и (4), содержит две последовательные операции обыкновенного интегрирования функции f ( x, y ). Они называются повторными интегралами от функции f ( x, y ) по области П.

Если f ( x, y ) непрерывна в замкнутом прямоугольнике П, то переход к повторным интегралам всегда возможен и = , (5)

т.е. значения повторных интегралов от непрерывной функции f ( x, y )

не зависят от порядка интегрирования.

Пример 1. Найти интеграл от функции z = x2 + y2 по области

П = {0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.

Имеем (рис.6): dy = =

= == .

Рис.6.

1.4.2. Случай произвольной области

Пусть область интегрирования – произвольная огра-

ниченная замкнутая область D на плоскости Оху, удо-

влетворяющая следующим условиям: любая прямая ,

параллельная оси Оу, пересекает границу этой области

не более чем в двух точках или по целому отрезку

(рис. 7а).

Заключим область D внутри прямоугольника Рис.7.

П = {a £ x £ b, c £ y £ d} так, как показано на рис. 7б.

Точками А и С граница области D разбивается на две кривые АВС и АЕС. Каждая из




этих кривых пересекается с произвольной прямой, параллельной оси Оу, не более чем в одной

точке. Поэтому их уравнения можно записать в виде:

. (6)

Пусть f ( x, y ) ³ 0 – некоторая функция, непрерывна в D. Рассечем цилиндрическое

тело, ограниченное сверху поверхностью z = f ( x, y ), а снизу - областью D, плоскостью

x = const, a < x < b.

В сечении получим криволинейную трапецию PQMN (рис. 8), пло-

щадь которой S (x) выражается обыкновенным интегралом от функ-

ции f ( x, y ), рассматриваемой как функция одной переменной у.

При этом у изменяяется от ординаты j1(х) точки Р до ординаты j2(х)

точки Q : точка Р есть точка “входа” прямой x = const (в плоскости

Оху) в область D, а Q – точка ее “выхода” из этой области. Т.к.

уравнение кривой АВС есть у = j1(х), а кривой АЕСу = j 2(х), то

эти ординаты при взятом х соответственно равны j1(х) и j 2(х).

Следовательно, интеграл = S(x) (7) Рис.8.

дает выражение для площади плоского сечения цилиндрического тела как функции положения секущей плоскости x = const. Объем всего тела будет равен интегралу от этого выражения по х в промежутке изменения х (a xb). Т.о.

= . (8)

В частности для площади S области D получим

S = = . (9)

Предположим теперь, что каждая прямая y = const, c < y < d, пересекает

границу области D не более чем в двух точках P и Q, абсциссы которых

равны y1(у) и y2(у) соответственно (или по целому отрезку) (рис. 9).

Рассуждая аналогично тому, как это было проделано выше, придем к формуле



Рис. 9.

= , (10)

также сводящейся к вычислению двойного интеграла к повторному.

Пример 2. Вычислить двойной интеграл от функции f (x, y) = xy по области D,

ограниченной линиями у =и у = х2 (рис.10).

Рассмотрим область D: параболы у =и у = х2 пересекаются в точках О(0, 0)

и М(1, 1): => x1 = 0, x2 = 1, т.е. а = 0, b = 1. Кроме того, у1 = х2, у2 = . Рис. 10.

Следовательно, == == .

Пример 3. Вычислить интеграл от функции f (x, y) = 2x – y + 3 по области D,

ограниченной линиями у = х и у = х2 (рис.11).

Прямая у = х и парабола у = х2 пересекаются в точках О(0, 0) и М(1, 1): =>

x1 = 0, x2 = 1, т.е. а = 0, b = 1 => область D = {0 ≤ x ≤ 1, х2yx} => (два решения) Рис. 11.

а) = = == = .

б) = = == .

Пример 4. Вычислить по области D, заключенной между двумя квадратами с центром в начале

координат и сторонами, параллельными осям координат, если сторона внутреннего квадрата равна 2, а

внешнего 4 (рис.12).

Имеем: = , где Qбольший квадрат, Р

меньший квадрат.

= = = = .

= =.

= = e4 – 2 + e4e2 + 2 – e2 = 2ch4 – 2ch2. Рис.12.

Пример 5. Вычислить по области D, ограниченной линиями

у = х2, у = 0, х + у – 2 = 0 (рис.13).

а) = = =

= =

= –+ += . Рис.13.

б) = + =+ = dx + =+ = += .





Дата добавления: 2014-02-12; просмотров: 781; Опубликованный материал нарушает авторские права? | Защита персональных данных | ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ


Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: На стипендию можно купить что-нибудь, но не больше... 9264 - | 7353 - или читать все...

Читайте также:

 

3.218.67.1 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.


Генерация страницы за: 0.015 сек.