Достаточные условия интегрируемости
Теорема 1. Всякая функция f (x, y), непрерывная в ограниченной замкнутой области D, интегрируема в этой области. |
Теорема 2. Если функция f (x, y) ограничена в замкнутой ограниченной области D и непрерывна всюду в D, кроме некоторого множества точек площади нуль, то эта функция интегрируема в области D. |
Замечание. Далее будем рассматривать только функции, непрерывные в области интегрирования, которые, согласно теореме 1, и интегрируемы в данной области.
Объем цилиндрического тела
Рассмотрим тело, ограниченное сверху поверхностью z = f (x, y) ³ 0,
снизу – замкнутой областью D плоскости Оху, с боков – цилиндри-
ческой поверхностью, образующая которой параллельна оси Оz, а
направляющей служит граница области D (рис. 3). Такое тело назы-
вается цилиндрическим. Найдем его объем V.
Для этого разобьем область D (проекция поверхности z = f (x, y) на
плоскость Оху) произвольным образом на n областей Di, площади которых Рис.3.
равны D Si, i = 1,2,..., n. Рассмотрим цилиндрические столбики с основаниями Di, ограниченные сверху кусками поверхности z = f (x, y). В своей совокупности они составляют все рассматриваемое цилиндрическое тело.
|
|
Обозначим объем столбика с основанием Di через D Vi, получим V =. Возьмем на
каждой площадке Di произвольную точку M i (x i, y i) и заменим каждый столбик прямым цилиндром с тем же основанием Di и высотой zi = f (x i, y i). Объем этого цилиндра приближенно равен объему D Vi цилиндрического столбика, т.е. D Vi ≈ f (x i , y i) · D Si . Тогда получаем:
V =≈ f (x i , y i) · D Si . (4)
Это равенство тем точнее, чем больше число n и чем меньше размеры «элементарных областей» Di. Естественно принять предел суммы (4) при условии, что число площадок Di неограниченно увеличивается (n → ∞), а каждая площадка стягивается в точку (d = di → 0), за объем цилиндрического тела, т.е. V = f (x i, y i) D Si, или, согласно равенству (3),
V = . (5)
Т.о., величина двойного интеграла от неотрицательной функции равна объему цилиндрического тела. В этом состоит геометрический смысл двойного интеграла.