double arrow

Геометрический и физический смысл двойного интеграла

Достаточные условия интегрируемости

Теорема 1. Всякая функция f (x, y), непрерывная в ограниченной замкнутой области D, интегрируема в этой области.
Теорема 2. Если функция f (x, y) ограничена в замкнутой ограниченной области D и непрерывна всюду в D, кроме некоторого множества точек площади нуль, то эта функция интегрируема в области D.

Замечание. Далее будем рассматривать только функции, непрерывные в области интегрирования, которые, согласно теореме 1, и интегрируемы в данной области.



Объем цилиндрического тела

Рассмотрим тело, ограниченное сверху поверхностью z = f (x, y) ³ 0,

снизу – замкнутой областью D плоскости Оху, с боков – цилиндри-

ческой поверхностью, образующая которой параллельна оси Оz, а

направляющей служит граница области D (рис. 3). Такое тело назы-

вается цилиндрическим. Найдем его объем V.

Для этого разобьем область D (проекция поверхности z = f (x, y) на

плоскость Оху) произвольным образом на n областей Di, площади которых Рис.3.

равны D Si, i = 1,2,..., n. Рассмотрим цилиндрические столбики с основаниями Di, ограниченные сверху кусками поверхности z = f (x, y). В своей совокупности они составляют все рассматриваемое цилиндрическое тело.

Обозначим объем столбика с основанием Di через D Vi, получим V =. Возьмем на

каждой площадке Di произвольную точку M i (x i, y i) и заменим каждый столбик прямым цилиндром с тем же основанием Di и высотой zi = f (x i, y i). Объем этого цилиндра приближенно равен объему D Vi цилиндрического столбика, т.е. D Vi f (x i , y i) · D Si . Тогда получаем:

V = f (x i , y i) · D Si . (4)

Это равенство тем точнее, чем больше число n и чем меньше размеры «элементарных областей» Di. Естественно принять предел суммы (4) при условии, что число площадок Di неограниченно увеличивается (n → ∞), а каждая площадка стягивается в точку (d = di → 0), за объем цилиндрического тела, т.е. V = f (x i, y i) D Si, или, согласно равенству (3),

V = . (5)

Т.о., величина двойного интеграла от неотрицательной функции равна объему цилиндрического тела. В этом состоит геометрический смысл двойного интеграла.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: