2014-02-12
8142
Выделим в области D * плоскости O * u v малый
прямоугольник Р 1* Р 2* Р 3* Р 4* со сторонами,
параллельными осям координат O * u и O * v и
длинами сторон D u
и D v (рис 15а). Его площадь
D S * = D u × D v. (4) Рис.15.
Прямоугольник Р 1* Р 2* Р 3* Р 4* переходит в криволинейный четырехугольник
Р 1 Р 2 Р 3 Р 4 в области D (рис 15б). Если вершины Рi * (i = 1, 2, 3, 4) имеют координаты
Р 1*(u, v), Р 2*(u+ D u, v), Р 3*(u+ D u, v+ D v), Р 4*(u, v+ D v),
то, согласно формулам (1), соответствующие им вершины Рi имеют координаты
Р 1 (j (u, v), y (u, v)), Р 2 ((j (u+ D u, v), y (u+ D u, v)),
Р 3 ((j (u+ D u, v+ D v), y (u+ D u, v+ D v)), Р 4 ((j (u, v+ D v), y (u, v+ D v)).
Пользуясь формулой Тейлора для функции двух переменных и ограничиваясь членами первого порядка относительно D u и D v, получим следующие приближенные значения координат для
вершин четырехугольника Р 1 Р 2 Р 3 Р 4: 
, 
,
, 
, (5)
где функции j, y и все их производные вычислены в точке (u, v). Найденные выражения для координат точек показывают, что с точностью до малых высшего порядка четырехугольник Р 1 Р 2 Р 3 Р 4 есть параллелограмм. Это следует из того, что
, 
.
Тогда площадь Δ S четырехугольника Р 1 Р 2 Р 3 Р 4 можно приближенно выразить через длину векторного произведения 
: Δ S = 
= 
· Δ u · Δ v.
Определитель J = 
называется функциональным определителем функций φ (u, v) и ψ (u, v), или их якобианом.
Т.о., элемент площади в криволинейной системе координат имеет вид
Δ S ≈ | J | · Δ u · Δ v. (6)
Т.к. Δ S ٭= Δ u · Δ v, то из формулы (6) получаем, что Δ S / Δ S ٭≈ | J |. Это равенство является приближенным. Однако в пределе, когда диаметры площадок Δ S и Δ S ٭стремятся к нулю, оно переходит в точное: | J (u, v) | = 
.
Из последних формул видно, что абсолютная величина якобиана играет роль локального коэффициента растяжения области D ٭ (в данной точке (u, v)) при отображении ее на область D при помощи формул преобразования (1).
