Основные свойства двойного интеграла

Считаем, что встречающиеся здесь подынтегральные функции интегрируемы.

1. dx dy = dx dy ± dx dy.

2. dx dy = dx dy ± dx dy.

3. dx dy = A dx dy.

4. Если для всех точек (x, y) D f (x, y) ≤ g (x, y), то dx dy ≤ dx dy.

5. Площадь плоской области: = S, т.к. = S.

6. Если f (x, y) непрерывна в замкнутой областиD, площадь которой S, то

mS ≤ dx dy ≤ MS, где m и M - соответственно наименьшее и наибольшее

значения f (x, y) в областиD.

7. Теорема о среднем значении функции. Если f (x, y) непрерывна в замкнутой

областиD, площадь которой S, то в этой области существует такая точка (х ₀, у ₀), что dx dy = f (х ₀, у ₀) · S.

Величину f (х ₀, у ₀) = dx dy называют средним значением функцииf ( x, y )

в областиD.

Геометрический смысл теоремы о среднем значении. Если в области D

функция f (x, y) ³ 0, то данная теорема гласит, что существует прямой

цилиндр с основанием D (площадь которого равна S) и высотой

H = f (x ₀, y ₀), объем которого равен объему цилиндрического тела (рис. 4).

Рис. 4.