Замена переменных в двойном интеграле

1.5.1. Понятие криволинейных координат точки

Пусть в области D ^* плоскости О ^* u v задана пара функций

(1)

которые будем считать непрерывными в этой области и име-

ющими в ней непрерывные частные производные. В силу (1) Рис.14.

каждой точке М ^*(u, v) области D ^* отвечает одна определенная

точка М (х, у) в плоскости Оху и тем самым точкам области D ^* отвечает некоторое множество точек (х, у) в плоскости Оху (рис. 14). При этом говорят, что функции (1) задают отображение области D ^* плоскости О ^* u v на область D плоскости Оху.

Предположим, что различным точкам (u, v) отвечают различные точки (х, у). Это равносильно однозначной разрешимости уравнений (1) относительно u и v: (2)

В этом случае отображение называется взаимно однозначным отображением области D ^* на область D. При таком преобразовании любая непрерывная кривая L ^*, лежащая в области D ^*, перейдет в непрерывную кривую L, лежащую в области D. Если функции g (х, у) и h (х, у) также непрерывны, то любая непрерывная линия L Ì D с помощью преобразования (2) перейдет в непрерывную линию L ^*Ì D ^*.

По заданной паре u ₀, v ₀значений переменных u, v из области D ^*можно однозначно определить не только положение точки М ^* (u ₀, v ₀) в самой области D ^*, но и положение соответствующей точки М (х ₀, у ₀) в области D,

х ₀ = j (u ₀, v ₀), у ₀ = y (u ₀, v ₀). Это дает основание рассматривать числа u, v как некоторые новые координаты точки М области D на плоскости Оху. Их называют криволинейными координатами точки М.

Множество точек области D, у которых одна из координат сохраняет постоянное значение, называется координатной линией. Полагая в формуле (1) v = v ₀, получим параметрические уравнения координатной линии

х = j (u, v ₀), у = y (u, v ₀). (3)

Здесь роль параметра играет переменная u. Придавая координате v различные постоянные значения, получим семейство координатных линий (v = const) на плоскости Оху. Аналогично получаем и другое семейство координатных линий (u = const).

При наличии взаимно однозначного соответствия между областями D ^* и D различные координатные линии одного и того же семейства не пересекаются между собой, и через любую точку области D проходит по одной линии из каждого семейства. Сетка криволинейных коорди-

натных линий на плоскости Оху является образом прямоугольной сетки на плоскости O ^* u v.

1.5.2. Элемент площади в криволинейных координатах.