Статическим моментомМх материальной точки массы m относительно оси Ох называется произведение mу, где у – ордината материальной точки, т.е. Мх = mу.
Здесь у может быть как положительным, так и отрицательным числом.
Разбивая фигуру D на части D 1, D 2,..., Dn, выбирая в каждой части Dk произвольно точку Рk (хk, уk) и считая, что масса этой k – той части приближенно равна m (хk, уk) D Sk и сосредоточена в точке Рk (хk, уk), запишем приближенно величину статического момента
фигуры D относительно оси Ох: Мх ≈, где Δ Sk – площадь части Δ Dk, а
m (хk, уk) – поверхностная плотность.
Переходя к пределу при d → 0, получаем Мх = .
Статический момент фигуры D относительно оси Оу: Му = .
Если известны статические моменты Мх и Му и масса m плоской фигуры, то координаты центра тяжести:
хс = = , ус = = ,
Если μ = const, то m = μS, и
хс = , ус = .
Пример 3. Найти массу, статические моменты Sx, Sy и координаты центра тяжести фигуры, лежащей в первой
четверти, ограниченной эллипсом + y 2 = 1 и координатными осями. Поверхностная плоскость в
|
|
каждой точке фигуры пропорциональна произведению координат точки.
По условию μ = μ (х, у) = kху, где k – коэффициент пропорциональности. Имеем:
m = = k = = = .
Sx = .
Sy = .
xc = = . yc = = .