Статические моменты и координаты центра тяжести плоской фигуры

Статическим моментомМ_х материальной точки массы m относительно оси Ох называется произведение mу, где у – ордината материальной точки, т.е. М_х = mу.

Здесь у может быть как положительным, так и отрицательным числом.

Разбивая фигуру D на части D ₁, D ₂,..., D_n, выбирая в каждой части D_k произвольно точку Р_k (х_k, у_k) и считая, что масса этой k – той части приближенно равна m (х_k, у_k) D S_k и сосредоточена в точке Р_k (х_k, у_k), запишем приближенно величину статического момента

фигуры D относительно оси Ох: М_х ≈, где Δ S_k – площадь части Δ D_k, а

m (х_k, у_k) – поверхностная плотность.

Переходя к пределу при d → 0, получаем М_х = .

Статический момент фигуры D относительно оси Оу: М_у = .

Если известны статические моменты М_х и М_у и масса m плоской фигуры, то координаты центра тяжести:

х_с = = , у_с = = ,

Если μ = const, то m = μS, и

х_с = , у_с = .

Пример 3. Найти массу, статические моменты S_x, S_y и координаты центра тяжести фигуры, лежащей в первой

четверти, ограниченной эллипсом + y ² = 1 и координатными осями. Поверхностная плоскость в

каждой точке фигуры пропорциональна произведению координат точки.

По условию μ = μ (х, у) = kху, где k – коэффициент пропорциональности. Имеем:

m = = k = = = .

S_x = .

S_y = .

x_c = = . y_c = = .